第3期 指数函数、对数函数与幂函数-【数理报】2021高考数学文科一轮复习知识备查

书书书 故ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｌｎｘ在区间（槡２２，４）上有零点． （２）解：设ｕ（ｘ）＝ｘ＋ ４槡 －ｘ（０≤ｘ≤４）， 令 ｔ＝ ４槡 －ｘ，则ｖ（ｔ）＝４－ｔ ２ (＋ｔ＝－ ｔ－ )１２ ２ ＋１７ ４ ， 因为ｔ∈［０，２］，所以ｖ（ｔ） [∈ ２，１７]４ ． 因为ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－６ｘ＝３ｘ（ｘ－２），所以当ｘ [∈ ２，１７]４ 时，ｆ′（ｘ）≥０，此时ｆ（ｘ）单调递增，且ｆ（ｘ） [∈ －４，１４４５]６４ ， 故ｍ [的取值范围是 －４，１４４５]６４ ． ２２．解：（１）因为ｆ（－１）＝２０１８－１， 所以ｆ（ｆ（－１））＝ｌｏｇ２０１８２０１８ －１ ＝－１． 因为ｆ（２０１８）＝ｌｏｇ２０１８２０１８＝１， 所以ｆ（ｆ（２０１８））＝ｌｏｇ２０１８１＝０． （２）由题可得ｆ（ｆ（ｘ））＝ ｘ，　　　　　　　ｘ≤１， ｌｏｇ２０１８（ｌｏｇ２０１８ｘ），ｘ＞１ { ， 画出函数ｙ＝｜ｆ（ｆ（ｘ））｜的图象如图４所示， 由图可知，当 ｍ ＜０时，方程 ｜ｆ（ｆ（ｘ））｜＝ｍ无解； 当ｍ＝０时，方程｜ｆ（ｆ（ｘ））｜ ＝ｍ有２个解； 当 ０ ＜ ｍ ≤ １时，方 程 ｜ｆ（ｆ（ｘ））｜＝ｍ有４个解； 当ｍ＞１时，方程｜ｆ（ｆ（ｘ））｜＝ｍ有３个解． （３）要使对任意给定的ｔ∈［１，＋∞），都存在唯一的ｘ∈Ｒ， 满足ｆ（ｆ（ｘ））＝２ａ２ｔ２－ａｔ，则２ａ２ｔ２－ａｔ的取值必须大于１，即当 ｔ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｔ）＝２ａ２ｔ２－ａｔ的值域包含于（１，＋∞）． 当ａ＝０时，ｆ（ｔ）＝２ａ２ｔ２－ａｔ＝０，舍去； 当 １ ４ａ ≤１时，ｆ（１）＝２ａ２－ａ＞１ａ＞１或ａ＜－ １ ２ ； 当 １ ４ａ ＞１时，ｆ １ ４( )ａ ＝２ａ ２× １ ４( )ａ ２ －ａ· １ ４ａ ＝－１ ８ ＜０， 舍去． 综上所述，实数ａ (的取值范围是 －∞，－ )１２ ∪（１，＋∞）． 第５期检测题参考答案 一、选择题　 １～６　ＢＤＤＡＣＤ　　７～１２　ＡＢＢＣＢＡ 提示： ４．由ｙ＝ｘｅｘ＋１得ｙ′＝ｅｘ＋ｘｅｘ，所以在点（０，１）处切线的 斜率为１，其切线方程是ｙ－１＝ｘ，即ｘ－ｙ＋１＝０． ５．由题知 ｆ′（ｘ）＝ １ ２ ｘ２＋( )１ｃｏｓｘ是偶函数，所以排除 （Ａ），（Ｂ），又ｆ′（０）＝１＞０，所以排除（Ｄ），故选（Ｃ）． ６．由题知ｘ＞０且ｆ′（ｘ）＝１ ｘ ＋２ｘ ａ ，因为曲线ｆ（ｘ）在点（１， ｆ（１））处的切线的倾斜角为３π ４ ，所以 ｆ′（１）＝－１，所以１＋２ ａ ＝－１，解得ａ＝－１． ７．因为 ｙ＝ｘ＋１ ｘ－１ ＝１＋ ２ ｘ－１ ，所以 ｙ′＝ １＋ ２ ｘ－( )１′＝ － ２ （ｘ－１）２ ，则曲线在点（３，２）处的切线斜率 ｋ＝ｙ′｜ｘ＝３ ＝ － ２ （３－１）２ ＝－１ ２ ，又直线 ａｘ＋ｙ＋１＝０的斜率为 －ａ，所以 －ａ· －( )１２ ＝－１，解得ａ＝－２． ８．由题意可知ｆ′（ｘ）＝ａ（ｘ－１）２＋槡３（ａ＞０），即函数切线 的斜率ｋ＝ｆ′（ｘ）＝ａ（ｘ－１）２＋槡３≥槡３，即ｔａｎα≥槡３，所以 π ３ ≤α＜ π ２ ． ９．由ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ－２，得 ｆ′（ｘ）＝ ａ ｘ ，ｆ′（１）＝ａ，又 ｆ（１）＝－２，所以曲线ｙ＝ａｌｎｘ－２（ａ＞０）在ｘ＝１处的切线方 程为ｙ＋２＝ａ（ｘ－１），令ｘ＝０得ｙ＝－ａ－２；令ｙ＝０得ｘ＝ ２ ａ ＋１．则切线与坐标轴围成的三角形面积为 Ｓ＝ １ ２ （－ａ－ ２） ２ ａ ＋( )１ ＝ １２（ａ＋２） ２ａ ＋( )１ ＝４，解得ａ＝２． １０．因为ｆ（ｐ＋１）－ｆ（ｑ＋１） ｐ－ｑ ＝ｆ（ｐ＋１）－ｆ（ｑ＋１） （ｐ＋１）－（ｑ＋１） ＝ｆ′（ｘ ＋１），且ｆ′（ｘ）＝ ａ ｘ＋１ －ｘ，所以ｆ′（ｘ＋１）＝ ａ ｘ＋２ －（ｘ＋１）＞ ３对任意的ｘ∈（０，１）恒成立，所以ａ＞ｘ２＋６ｘ＋８对任意ｘ∈ （０，１）恒成立，即ａ＞（ｘ２＋６ｘ＋８）ｍａｘ，当ｘ＝１时，（ｘ ２＋６ｘ＋ ８）ｍａｘ ＝１５，所以ａ≥１５． １１．因为直线ｙ＝ｋ（ｘ＋１）（ｋ＞０）与函数ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜的图 象恰有四个公共点，如图当ｘ∈（π，２π）时，函数 ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜＝ －ｓｉｎｘ，ｙ′＝－ｃｏｓｘ，依题意，切点 坐标为（ｘ４，ｙ４），又切点处的导数 值就是直线ｙ＝ｋ（ｘ＋１）（ｋ＞０） 的斜率ｋ，即ｋ＝－ｃｏｓｘ４，所以ｙ４ ＝ｋ（ｘ４＋１）＝－ｃｏｓｘ４（ｘ４＋１） ＝｜ｓｉｎｘ４｜＝－ｓｉｎｘ４．所以ｓｉｎｘ４ ＝（ｘ４＋１）ｃｏｓｘ４． １２．由ｙ＝ｘ３求导得ｙ′＝３ｘ２，设曲线ｙ＝ｘ３上的任意一点 （ｘ０，ｘ ３ ０）处的切线方程为ｙ－ｘ ３ ０ ＝３ｘ ２ ０（ｘ－ｘ０），将点（１，０）代入 方程得ｘ０ ＝