沪教版（上海）数学高二上册-7.6 《归纳—猜想—论证》 教案

《归纳—猜想—论证》 【教学目标】 1.知识与技能：初步掌握与自然数有关命题归纳的推理方法，能运用数学归纳法证明与自然数有关的等式。 2.过程与方法：通过几个与自然数有关的问题的解决，让学生体验归纳—猜想—证明的思维方法。在归纳—猜想—证明的过程中。学习和进一步理解数学归纳法。 3.情感态度与价值观：让学生通过实验、观察、善于尝试，培养学生科学的探究能力。 【教学过程】 复习引入： 对于“猜想”这个名词，我想大家并不陌生，在前几节课，我就给大家介绍过“费马猜想”，，大家搜索一下自己的知识储备，看看还有什么猜想是比较著名的啊？（介绍“哥德巴赫猜想”）这个猜想是16世纪的大猜想，其实在最近一段时间又流行起来一个非常有名的猜想。（介绍3x+1）这些猜想虽然被后人已经验算过无数次，但是一直称之为“猜想”，这是为什么呢？ 答：因为举例不可能把所有的数字都验证过一遍，所以结果就有其不确定性，所以我们对于一个问题的解决，不仅要有“归纳，猜想”的过程，还必须要有严格的论证。这就是我们今天所要探讨的课题：归纳－猜想－论证 刚才的两个例子，用我们现有的能力还论证不了，但是有些问题还是可以进行猜想论证的。对于下面的题目，大家的见解是什么样的。 例题讲解 猜想：由题目所给条件猜测结果 1.顺次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项的值。由此猜测出 an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果，再加以证明。 2. 在数列 中， ，计算前四项的值，并得到 的通项公式，再加以证明。 1、顺次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项的值。由此猜测出an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果，并加以证明。 解：容易看出，1=12， 1+2+1=22， 1+2+3+2+1=32， 1+2+3+4+3+2+1=42 从而猜测an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2 下面用数学归纳法证明 （1）当n=1时，等式显然成立。 (2）假设当n=k时等式成立，即ak =k2,那么当n=k+1时， ak+1=1+2+3+…+k+(k+1)+k+…+3+2+1 =ak+(k+1)+k