专题二 三角函数与解三角形重点题型05：小题巧解 考点五三角形面积、周长及最值范围-2021届高考数学一轮复习重点题型专题训练（选填题篇）

三角函数与解三角形小题巧解 考点五：三角形面积、周长及最值范围 题型一：三角形的面积与周长 例1：的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 解析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以,故选B 例2：的内角，，的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（ ） A． B． C． D． 解析:因为，所以，所以，因为，所以． 取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，，，，，由余弦定理得，解得，所以三角形的面积为，故选：C. 例3：（2020·湖北宜昌·高三（文））已知中，角，，所对的边分别为，若的面积为，则的周长为（ ） A．8 B．12 C．15 D． 解析：因为的面积为，所以，解得. 由余弦定理得，所以， 又因为，所以，解得. 所以的周长为15.故选：C 例3：在直角中，点在斜边延长线上，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 解析： 如图所示，设，则，由余弦定理可得，解得，所以，， 故选：B 例4：已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________. 解析：设三角形的三边长为,根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知,则由余弦定理，，,所以三边长为6,10,14.令,所以. 【方法规律】 ①三角形的面积常用公式： (为三角形外接圆半径，) ②三角形周长公式： 题型二：有关三角形的面积、周长的最值与范围 例5：在中，角，，的对边分别为，若，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 解析:根据正弦定理知化为为，即，故，，故，则． 因为，，所以，当且仅当，等号成立，此时的面积，故的面积的最大值为,故选D． 例6：若，则的最大值是_____________. 解析:设，则，由面积公式得， ① 由余弦定理得，，将其代入①式，， 由三角形三边关系得，故当 时，取得最大值 例7：在中，，，则面积的最大值为____________. 解析:由可得,则，当且仅当时“”成立，故答案为. 例8：在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围为______． 解析:因为，所以,因为，因为.由余弦定理得，因为三角形是锐角三角形，所以且.所以.因为， 所以面积的取值范围为. 例9：（2020·河南高三（文））的内角，