天津市2020-2021学年度第一学期南开区期中考试试卷高三年级数学学科试题（PDF版，含答案）

$$ 数学试卷参考答案 第 1 页（共 5 页） 2020—2021 学年度第一学期南开区期中考试试卷参考答案 高三年级 数学学科 一、选择题：（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分） 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答 案 C D B A C B D C A 二、填空题：（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） （10） 4 3 i 25 25  ； （11）2； （12）– 2， 4 3 （第一个空 2 分，第二个空 3 分）； （13） 10 ； （14） 3 2 2 ； （15）0＜m≤3，m＞3（第一个空 2 分，第二个空 3 分）． 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （16）解：（Ⅰ）依题意，由正弦定理得 a：b：c = 7：8：3， ……………………2 分 可设 a = 7k，b = 8k，c = 3k， 由余弦定理得 cosA = 2 2 2 64 9 49 2 8 3 k k k k k     = 1 2 ， ……………………4 分 因为 0＜A＜，所以 A = 3  ． ……………………6 分 （Ⅱ）由余弦定理得 cosB = 2 2 2 49 9 64 2 7 3 k k k k k     = 1 7  ， ……………………7 分 所以 sinB = 2 4 3 1 cos 7 B  ， ……………………8 分 所以 sin2B = 2sinBcosB = 8 3 49  ， ……………………10 分 cos2B = 2cos 2 B – 1 = 47 49  ， ……………………12 分 所以 cos(2B – A)= cos2B·cos 3  + sin2B· 3  = 47 1 8 3 3 49 2 49 2     = 71 98  ． ……………………14 分 数学试卷参考答案 第 2 页（共 5 页） （17）解：（Ⅰ）依题意 f(x)= 2 4 2 2 4 2 a x x a x x      ( ) ， ＜ ， ( ) ， ≥ ， ……………………1 分 当 a＜2 时，f(a) = (a – 2)a + 4 = 3，解得 a = 1； ……………………3 分 当 a≥2 时，f(a) = (a + 2)a – 4 = 3，解得 a∈．……………………5 分 综上，a = 1． ……………………6 分 （Ⅱ）要使函数 f(x)有最小值，则有 2 0 2 0 a a    ≥ ， ≤ ， 所以–2≤a≤2， 即当 a∈[–2，2]时，f(x)有最小值． ……………………10 分 （Ⅲ）因为 g(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 g(0)= 0．…………………11 分 设 x＞0，则– x＜0， 所以 g(x)= – g(– x)= (a – 2)x – 4， ……………………14 分 所以 g(x)= 2 4 0 0 2 4 0. a x x x a x x        ( ) ， ＜ ， 0， ， ( ) ， ＞ ……………………15 分 （18）解：（Ⅰ）由已知，有 f(x) = 1– cos2x + 2 3 sin x cos x ……………………3 分 = 3 sin2 x – cos2x + 1 ……………………4 分  = 2 sin(2x – 6  ) + 1 ． ……………………5 分 所以 f(x)的最小正周期为 T = 2  = ． ……………………6 分 （Ⅱ）令 π 2 6 z x  ， 函数 2siny z + 1 的单调递减区间是 π 3π 2 π 2 π 2 2 k k [ ，