沪教版（上海）高中数学高一上册第二章2.5不等式的证明教案

不等式的证明 不等式的证明 【教学目标】 1.通过具体问题复习比较法、分析法和综合法的基本思路。 2.会用比较法、分析法、综合法证明不等式。 3.通过不等式的求证，提高分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】不等式证明的主要方法的意义和运用。 【教学难点】用比较法、分析法、综合法证明不等式。 【教学过程】 一、知识要点 1.比较法 作差→变形（通分、因式分解等）→判断符号。 作商→变形（化为幂的形式等）→与1比较大小。（分母要为正的） 2. 分析法（执果索因） 分析法的证明过程就是寻找欲证不等式成立的充分条件的过程。 3. 综合法（由因导果） 综合法证明不等式时，主要利用某些已经证明过的重要不等式为基础，再运用不等式的性质，在严密的演绎推理下，推导出所要求证的不等式。 二、课堂例题 例1 已知，求证：。 证明：（比较法——作差） 左右（等号成立）。故得证。 （比较法——作商），， （等号成立）。故得证。 （分析法）要证， 只需证， 只需证， ，故只需证， 只需证， 成立， 则成立，且以上各步均可逆， 故成立。（等号成立） （综合法1） ， 又， ，，。 （综合法2） ，故，， .（等号成立） 变式1：已知，求证：。 证： （比较法） 左右.（等号成立）故成立。 变式2：已知，求证：。 解： （综合法），故， 故成立。（等号成立） 例2 若，，，求证：。 证明： （综合法） 。 等号成立。 （分析法）设，，。 则原不等式等价于 。 要证， 只需证明， 即证， 由基本不等式，成立。（等号成立） 且以上各步均可逆。 。故原不等式成立。 例3 已知，求证：。 证：（分析法） 要证， 即证， 即证， ∵，， 故成立，且以上各步均可逆。（等号成立） 故得证。 几何含义：和是两个具有一个公共直角边的直角三角形。，，，则，，，该不等式表明的两边长与之差的绝对值小于第三边的长。 三、课堂小结 证明不等式的三种方法：比较法、分析法、综合法。 【课后作业】 1.求证：。 2.若，且，求证：。 3.若，求证：。 4.设，求证：。 课后： 若令， 思考的几何意义。 ，，，。 3 $$