高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案-沪教版

不等式的证明 比较法证明不等式 【学习目标】 1．理解比较法证明不等式的理论依据。 2．掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤。 3．会用比较法证明简单的不等式。 【学习过程】 1．求差比较法 (1)理论依据：①a>b⇔a－b>0.②a＝b⇔a－b＝0. ③a<b⇔a－b<0. (2)定义：要证明a>b，只要转化为证明a－b>0.这种方法称为求差比较法。 (3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论。 2．求商比较法 (1)理论依据：当b>0时，①a>b⇔＝1．<1，③a＝b⇔>1，②a<b⇔ (2)定义：证明a>b(b>0)只要转化为证明>1即可，这种方法称为求商比较法。 一、思考探究 1．求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 【提示】　作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明。实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。 2．求商比较法主要适用的类型是什么？ 【提示】　主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明。 二、课堂互动探究 例1　已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋B． 思路探究：　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号。 自主解答：　法一　化成几个平方和 ∵a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋B． 法二　a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1． 对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1) ＝－3(b－1)2≤0. ∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0， 故a2＋b2＋1≥ab＋a＋B． 已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2B． 【证明】　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)。 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2B． 例2　已知a>0，b>0，求证：。＋≥＋ 思路探究：使用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应局部通分。 自主解答：　∵() ＋)－