第21章 本章复习教案-【新教材完全解读】初中九年级上册数学教学教案（人教版）

会用恰当的方法解一元二次方程;会利用一元二次方程模型解决简单的实际问题;会用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况;了解一元二次方程的根与系数之间的关系. 1.进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型. 2.通过对一元二次方程解法的探究,体会“化归”与“转化”的数学思想. 1.体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣. 2.通过解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用. 3.树立转化的思想,由设未知数列方程向学生渗透方程思想,由此培养学生应用数学的意识. 【重点】 解一元二次方程;建立一元二次方程的数学模型求解实际问题. 【难点】 建立一元二次方程模型解决实际问题. 一、一元二次方程及其根的定义 1.等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2叫二次项,a叫二次项系数,bx叫一次项,b叫一次项系数,c叫常数项. 2.判断一个方程是不是一元二次方程,首先把方程化成最简形式,然后需要同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2. a≠0是一元二次方程定义中的一部分,不可丢掉.一元二次方程的项及系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,写项或项的系数时都包括它前面的符号. 3.一元二次方程的根. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根. 判断某个数是不是一元二次方程的根,只需要将这个数代入原方程,若方程两边左右相等,则是该方程的根,若方程左右两边不相等,则不是该方程的根. 二、一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路是“降次”,即将“二次”化为“一次”,基本方法是转化,其方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.在具体解方程的过程中,要结合方程的特点,选择合适的方法求解. 三、一元二次方程根的判别式 一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用“Δ”表示,即Δ=b2-4ac. 根的判别式可以判定一个一元二次方程根的情况,反之,由方程根的情况可以判断判别式Δ的符号.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根. 四、根与系数之间的关系 若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根,则x1+x2=-,x1x2=,这两个关系式称为一元二次方程的根与系数之间的关系. 根与系数之间的关系是在一元二次方程有根的前提下成立的,所以运用根与系数之间的关系解题时,首先要检验b2-4ac是否非负. 五、数学思想的应用 初中数学蕴含着多种数学思想方法,但最基本的数学思想方法有:建模思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想、函数思想,突破这些思想方法,就相当于抓住了数学知识的精髓.列方程解应用题,就是把实际问题抽象为数学问题(列方程),建立数学模型解决实际问题;解方程降次就是应用转化思想解决问题;根的判别式的讨论和应用就是分类讨论思想的应用. 专题一 一元二次方程及其根的概念 【专题分析】 一元二次方程是初中数学最基础的知识之一,贯穿初中数学的始终.它与实数的运算、代数式、函数、不等式等都有联系,是初中数学的热点.涉及一元二次方程的定义要注意二次项系数不为0的条件,常与一元一次方程定义结合考查方程的定义.应用一元二次方程的根的定义解决有关问题时,常应用整体思想解决问题. 方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m= . 〔解析〕 根据一元二次方程的定义,未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,所以|m|=2且m+2≠0,解得m=2.故填2. [注意事项] 一元二次方程的二次项系数不为0. 【针对训练1】 已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-2)x-2m+1=0. (1)m为何值时,此方程是一元一次方程? (2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 〔解析〕 方程的二次项系数为0,一次项系数不为0时,方程为一元一次方程;方程的二次项系数不为0时,方程为一元二次方程. 解:(1)根据题意可得m2-1=0且m-2≠0, 即m=±1时此方程是一元一次方程. (2)根据题意得m2-1≠0, 所以当m≠±1时,方程为一元二次方程. 这个方程的二次项系数为m2-1;一次项系数为m-2;常数项为-2m+1. 已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2 〔解析〕 根据方程的根的定义,将x=-b代入方程中,可得