专题18几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数、复合函数等）-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数、复合函数等） 一．题源探究·黄金母题 画出函数y=|x|的图象。 【解析】由绝对值的概念，我们有所以，函数的图象如图示。 【试题来源】人教A版必修1第21页例5． 【母题评析】本题考查含绝对值的函数图象画法，难度一般． 【思路方法】去掉绝对值号，转化为分段函数画函数的图象． 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D． 【命题意图】本类题考查分段函数和含绝对值的函数． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，在解答题中常和导函数结合考查。 【学科素养】数学运算、直观想象 【难点中心】方程的零点个数问题要转化为函数图象的交点个数问题，个别需要构造函数。含绝对值的函数考虑图象，要去掉绝对值号。 三．理论基础·解题原理 考点一 对勾函数 1、 对勾函数的定义 形如的函数，叫做对勾函数． 2、 对勾函数的图象与性质 1. 定义域 2. 值域 当时，（当且仅当，即时取等号）． 当时，（当且仅当，即时取等号）． 函数的值域为． 3. 奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数． 4. 单调性 由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数． 5. 渐近线 当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方． 双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线． 特别时，，函数图象如下图所示： 考点二 绝对值函数 一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数． 含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；2．形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究． 2、 绝对值函数的图象与性质 1. 定义域：R； 2. 值域：； 3. 单调性：函数在上为减函数，在上为增函数． 特别时，，图象如下图所示 考点三 取整函数 取整函数的定义 若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：等． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 考向1 对勾函数 若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是 A． B． C． D． 【解析】，，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，，为增函数，只需，故选D． 【温馨提醒】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件． 3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧． 考向2 绝对值函数 【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 根据题意，函数的 图象如图， 令，其图象与x轴相交于点， 在区间上我减函数，在上为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，可得． 【温馨提醒】解决含绝对值号的函数问题，要结合绝对值的概念解决问题或根据绝对值的概念去掉绝对值号解决问题， 考向3 取整函数与函数的周期性 【2018江苏南京模拟】函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】①当-0．5＜x＜0时，y=[x]+1的函数值为0； ②当0≤x＜1时，y=[x]+1的函数值为1； ③当1≤x＜2时，y=[x]+1的