专题17幂函数-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第17题 幂函数 一．题源探究·黄金母题 已知幂函数的图象过点（2，），试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性． 【解析】设=，则，解得， 所以=，定义域为，是非奇非偶函数， ∵，∴在是减函数，图像如下： 【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第10题 【母题评析】本题考查幂函数的解析式、图象、奇偶性、单调性，是基础题．是高考重要考点之一． 【思路方法】求幂函数的解析式常用待定系数法，研究幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性常用图像法，在研究函数性质时，一定要先求定义域，注意幂函数与指数函数的区别，注意不同的幂函数定义域、图像、性质可能不同． 二．考场精彩·真题回放 【2014高考浙江卷】在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ） 【答案】D 【解析】对A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B，中，中，不符合题意；对C，中，中，不符合题意；对D，中，中，符合题意；故选D． 【命题意图】本类题通常主要考查幂函数的图像与性质的应用． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与不等式、函数性质等数学知识相结合，考查幂函数的定义、图像与性质． 【学科素养】数学运算、直观想象 【难点中心】幂函数因幂指数不同其定义域、值域、图像、奇偶性、单调性也不同，故解决幂函数问题，要根据解析式，首项求函数的定义域，根据幂指数确定其图像与性质，，熟记不同范围幂指数所对函数的图像与性质，是解题要熟练处理与幂函数有关的问题的关键． 三．理论基础·解题原理 考点一 幂函数的概念与表示 一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数． 考点二 幂函数的图像与性质 1．幂函数的图象 2．幂函数性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 减函数，增函数 增函数 增函数 减函数，增函数 定点 ， 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数学知识结合考查幂函数的图像与性质． 考向1 幂函数的概念与表示 【2018河南三门峡模拟】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为(　　) A．　　　　B．1 C．2 D．1或2 【答案】B 【解析】由于为幂函数，所以，解得或，经检验只有适合题意． 【温馨提醒】解决这类题要熟记幂函数的概念，注意其与指数函数解析式的区别。 考向2 幂函数的图像 【2018浙江诸暨模拟】下图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知p分别为，中的一个，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的p值依次是 （ ） A．-2，，，2 B．，-2，2， C．2，，，-2 D．2，，-2， 【答案】C 【解析】做直线，与四个函数图象从上到下的交点依次记为，而，从而相应于曲线的n依次为2，，，-2，故选C． 【温馨提醒】幂函数的图象与指数的取值有关。 考向3 幂函数性质 【2017江西赣州模拟】幂函数的图象经过点，则是（ ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】C 【解析】设幂函数为 ，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C． 【温馨提醒】幂函数的性质应该结合函数的图象理解记忆。 考向4 幂函数的综合应用 【2018山东滕州三中模拟】已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（　　） A．函数图象经过点（﹣1，1） B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4] C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0 D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0] 【答案】C 【解析】由题意可知， ，所以，所以，A对，x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]，B对．在（﹣∞，0]上单调递减，D对，偶函数，C错，选C． 【技能方法】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幂函数的单调性、幂函数的奇偶性、幂函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入