专题16对数函数-2021版-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第16题 对数函数 一．题源探究·黄金母题 已知函数，，． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由，得，∴函数的定义域为． （2）根据（1）知：函数的定义域为 ∴ 函数的定义域关于原点对称． 又∵ ＝， ∴是上的偶函数． 【试题来源】人教版A版必修一第75页B组第4题 【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力． 【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断与的关系，进而判定． 二．考场精彩·真题回放 【2020年全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D． 【命题意图】本题考查函数奇偶性和单调性的判断。 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用． 【学科素养】数学运算、数学抽象 【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难． 三．理论基础·解题原理 考点一 对数与对数的运算性质 （1）对数的定义 如果（且），那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为，且 常用对数 底数为10 自然对数 底数为 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）： ①，②，③，④． （2）对数的运算法则： 如果，且，，，那么： 1．·＋； 2．－； 3． ． （2）换底公式： （均为大于零且不等于1，）； 利用换底公式推导下面的结论 （1）．推广． （2），特例： 考点二 对数函数的定义 函数，且叫做对数函数，其中是自量，函数的定义域是． 注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：，且． 考点三 对数函数图象与性质 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）当时，，即过定点（1，0） （4）当时，； 当时， （4）当时，； 当时， （5）在（0，+）上为增函数 （5）在（0，+）上为减函数 注：确定图中各函数的底数与1的大小关系 提示：作一直线，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系； 2．在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等． 考向1 对数运算性质的应用 【2015高考安徽卷】___________． 【答案】 【解析】解法一：原式＝． 解法二：． 【温馨提醒】进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的． 考向2 求对数型函数的定义域、值域 求下列函数的定义域、值域： （1）；（2）． 【解析】（1）∵ ∴ ∴ 所以函数的定义域为 ∵ 所以函数的值域为． （2）∵ ∴或 所以函数的定义域为 因为，即能取遍一切正实数，所以 所以函数的值域为． 【温馨提醒】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数；（4