2.3.2 抛物线的简单几何性质（1）-2020-2021学年高二数学（文）课时同步练（人教A版选修1-1）

课时同步练 2.3.2 抛物线的简单几何性质（1） 一、单选题 1．已知抛物线的准线经过点，则抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线经过点， ， 该抛物线焦点坐标为． 故选D． 2．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离， 即，解得：， 又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为. 故选. 3．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为 A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】抛物线y2=2px(p＞0)的准线方程为x=-， 因为抛物线y2=2px(p＞0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切， 所以3+=4，p=2； 故选C． 4．A是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，,则抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1. 故选A. 5．抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，其面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM， ∴PM⊥抛物线的准线， 设P（，m），则M（﹣1，m）， 等边三角形边长为1+，F（1，0） 所以由PM=FM，得1+=，解得m=2， ∴等边三角形边长为4，其面积为4 故选D． 6．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【答案】C 【解析】易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线方程为与联立得， 即， 当时，方程有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点. 所以满足题意的直线有3条. 故选C. 7．在同一坐标系中，方程与（）的曲线 大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将两个方程转化为标准形式：， ，因为，所以椭圆在 轴方向上的轴长较长，抛物线关于轴对称，开口向轴负方向． 故选D． 8．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（ ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为，抛物线的渐近线为，渐近线与准线的交点为，，所以，， 故选B． 9．抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】为抛物线上任意一点. 则. ∴点P到直线的距离为 ∴. 故选A 10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，在准线上的射影为，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： 设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A1、B1， 由抛物线的定义可得，AA1=AF，∴∠AA1F=∠AFA1，又由内错角相等得∠AA1F=∠A1FK，∴∠AFA1=∠A1FK． 同理可证∠BFB1=∠B1FK． 由∠AFA1+∠A1FK+∠BFB1+∠B1FK=180°， ∴∠A1FK+∠B1FK=∠A1FB1=90°， 故选B． 11．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示： 抛物线焦点为F，则，准线方程为， 直线的倾斜角等于，即， 而，所以， 由抛物线定义可知， 因而， 作于，则，， 所以， 所以在中，， 故选C. 12．已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点，若，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， x=ty+m代入， 可得 ， 根据韦达定理有 ∵， ， 从而 ∵点A，B位于x轴的两侧， ∴ ，故 ． 故直线AB所过的定点坐标是 即有面积 ， 当 时，即直线AB垂直于x轴， 的面积取得最小值，且为8． 故选B 二、填空题 13．一条光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】抛物线具有光学性