专题12数学归纳法-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题12数学归纳法 1、 考点传真： 1.了解数学归纳法的原理； 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 二、知识点梳理 1.数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的框图表示 三、例题： 例1. （2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）． 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 当时， 假设时，， 那么时，若，则，矛盾，故． 因此 所以 因此 （Ⅱ）由得 记函数 函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为 所以得 由得 所以 故 综上， ． 例2. (2015湖北) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小； （Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明； （Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：． 【解析】（Ⅰ）的定义域为，． 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减． 故的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，，即． 令，得，即． ① （Ⅱ）；； ． 由此推测： ． ② 下面用数学归纳法证明②． （1）当时，左边右边，②成立． （2）假设当时，②成立，即． 当时，，由归纳假设可得 ． 所以当时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立． （Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 ，即． 例3.（2014安徽）设实数，整数，． （Ⅰ）证明：当且时，； （Ⅱ）数列满足，， 证明：． 【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明 （1）当时，，原不等式成立。 （2）假设时，不等式成立 当时， 所以时，原不等式成立。 综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。 （Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。 （1）当时由假设知成立。 （2）假设时，不等式成立 由易知 当时 由得 由（Ⅰ）中的结论得 因此，即 所以当时，不等式也成立。 综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。 再由得，即 综上所述， 证法2：设，则，并且 ， 由此可见，在上单调递增，因而当时。 （1）当时由，即可知 ， 并且，从而 故当时，不等式成立。 （2）假设时，不等式成立，则 当时，即有， 所以当时原不等式也成立。 综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。 例4. （2014重庆）设 （Ⅰ）若，求及数列的通项公式； （Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论． 【解析】：（Ⅰ）解法一： 再由题设条件知 从而是首项为0公差为1的等差数列， 故=，即 解法二： 可写为.因此猜想. 下用数学归纳法证明上式： 当时结论显然成立. 假设时结论成立，即.则 这就是说，当时结论成立. 所以 （Ⅱ）解法一：设，则. 令，即，解得. 下用数学归纳法证明加强命题： 当时，，所以，结论成立. 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即 再由在上为减函数得. 故，因此，这就是说，当时结论成立. 综上，符合条件的存在，其中一个值为. 解法二：设，则 先证：…………………………① 当时，结论明显成立. 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即这就是说，当时结论成立，故①成立. 再证：………………………………② 当时，，有，即当时结论②成立 假设时，结论成立，即 由①及在上为减函数，得 这就是说，当时②成立，所以②对一切成立. 由②得，即 因此 又由①、②及在上为减函数得，即 所以解得. 综上，由②③④知存在使对一切成立. 四、巩固练习： 1.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证(　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 【答案】B　 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2时等式成立． 2．若用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n3＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k3＋1 B．(k＋1)3 C. D．(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3 【答案】D　 【解析】当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k3，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，增加了(k3＋1)＋