专题11直接证明与间接证明-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题11直接证明与间接证明 1、 考点传真： 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点. 二、知识点梳理 1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →→… → →→… → 文字语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证…… 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立. 三、例题： 例1.（2020年全国2卷理数，23）设a，b，，，. （1）证明：； （2）用表示a，b，c的最大值，证明：. 【解析】证明（1）由题设可知，均不为零，所以 . （2）不妨设，因为，所以.由，可得，故，所以. 例2.（2018北京）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记 ． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由． 【解析】(1)因为，，所以 ， ． (2)设，则． 由题意知，，，∈{0，1}，且为奇数， 所以，，，中1的个数为1或3． 所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}． 将上述集合中的元素分成如下四组： (1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)． 经验证，对于每组中两个元素，，均有． 所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素． 所以集合中元素的个数不超过4． 又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合中元素个数的最大值为4． (3)设 ， ， 则． 对于（）中的不同元素，，经验证，． 所以（）中的两个元素不可能同时是集合的元素． 所以中元素的个数不超过． 取且（）． 令，则集合的元素个数为，且满足条件． 故是一个满足条件且元素个数最多的集合． 例3.（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”． （1）证明：等差数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时， ， 所以， 因此等差数列是“数列”. （2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，① 当时，.② 由①知，，③ ，④ 将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为. 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列. 例4.（2017浙江）已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 证明：当n∈N*时， (1)0<xn＋1<xn； (2)2xn＋1－xn≤； (3)≤xn≤. 证明　(1)用数学归纳法证明：xn>0. 当n＝1时，x1＝1>0. 假设n＝k时，xk>0， 那么n＝k＋1时， 若xk＋1≤0，则0<xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾， 故xk＋1>0. 因此xn>0(n∈N*)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1. 因此0<xn＋1<xn(n∈N*)． (2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得 xnxn＋1－4xn＋1＋2xn ＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)． 记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)， 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋