专题09基本不等式-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题09基本不等式 1、 考点传真： 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、知识点梳理 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 三、例题： 例1.（2020年江苏卷，12）已知，则的最小值是 . 【答案】 【解析】解法一 由得，则，当且仅当，即时取等号，则的最小值是. 解法二 ，则，当且仅当，即，时取等号，则的最小值是. 例2.（2020年天津卷，14）已知，且，则的最小值为_________.【答案】4 【解析】依题意得，当且仅当即时取等号.因此，的最小值为4. 例3．（2019天津卷）设，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 ，，， 则； 由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）. 故的最小值为. 例4. (2018天津卷)已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 例5．(2017北京卷)已知，，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】由题意，，且，又时，，时，，当时，，所以取值范围为． 例6．（2017天津卷）若，，则的最小值为___________． 【答案】4 【解析】 ， 当且仅当，且，即时取等号． 例7. （2017江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是 ． 【答案】30 【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立． 例8. （2017浙江卷）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴ ①当时，， 所以的最大值，即（舍去） ②当时，，此时命题成立． ③当时，，则 或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围是． 四、巩固练习： 1．函数f(x)＝的最大值为(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C. D．1 【答案】B　 【解析】显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，当且仅当x＝1时取等号，f(x)max＝. 2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是(　　) A.≥ B．＋≥2 C.≥2 D．(a＋b)≥4 【答案】C　 【解析】由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项． ∵－2＝＝≥0，∴≥ 3．已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 【答案】B　 【解析】由题意可得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9. 4．已知x，y都为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　　) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C　 【解析】因为x＋y＋＋＝x＋y＋≥x＋y＋＝x＋y＋， 所以x＋y＋≤5.令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4. 5．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B　 【解析】由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号． 6．已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为(　　) A．3－2 B．5 C．3＋2 D．3＋ 【答案】C　 【解析】令x＋3＝1，得x＝－2，故A(－2，－1)．又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2.当且仅当m＝，n＝时等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故选C. 7．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1 【答案】C　 【解析】∵x>