专题08二元一次不等式（组）与简单的线性规划-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题08二元一次不等式（组）与简单的线性规划 1、 考点传真： 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 二、知识点梳理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0. 3.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数 关于x，y的解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 三、例题： 例1.（2020年全国1卷理数，13）若满足约束条件则的最大值为____________. 【答案】1 【解析】通解 作出可行域，如图中阴影部分所示，由得故.作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最大值，为1. 优解 作出可行域，如图中阴影部分所示，易得，，，当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，.所以的最大值为1. 例2.（2020年全国3卷理数，13）若x，y满足约束条件则的最大值为________. 【答案】7 【解析】 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.结合图形可知，当直线过点时，取得最大值，且. 例3.（2020年浙江卷，3）若实数满足约束条件，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线,易知当直线经过点时，取得最小值，，再数形结合可得的取值范围是. 例4．（2019全国卷I）若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________. 【答案】9 【解析】 由约束条件作出可行域如图： 化目标函数为，由图可知，当直线过时， 直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9． 例5. （2019北京卷）若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________. 【解析】1 【解析】 作出约束条件表示的可行域，如图所示. 令，则，当此直线经过可行域内的点时，取最小值；当此直线经过可行域内的点时，取最大值. 由，得，由，得，所以；. 例6．2019天津卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 （A）2 （B）3 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】 由约束条件作出可行域如图： 化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值. 联立，解得. 所以的最大值为． 故选C． 例7．（2019浙江3）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是 A． B．1 C．10 D．12 【答案】C 【解析】：作出表示的平面区域，如图所示 分别联立其中两个方程，得A（2，2），B（-1，1），C（1，-1），则.故选C. 例8. (2018北京卷)设集合则 A．对任意实数， B．对任意实数， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】D 【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D． 解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D． 例9.(2018天津卷)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 A． 6 B．19 C．21 D．45 【答案】C 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 作出直线．平移该直线，当经过点时，取得最大值，由， 得，即，所以，故选C． 四、巩固练习： 1．在3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是(　　) A．(3,0)　　　　　　　　　 B．(1,3) C．(0,3) D．(0,0) 【答案】D　 【解析】分别把四个选项的坐标代入3x＋2y<6，经验证坐标(