3.4 基本不等式-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版必修5）

3.4 基本不等式 一、重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，bR) 一般地，对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当______________时，等号成立． 二、基本不等式 如果a＞0，b＞0，那么，当且仅当______________时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 三、基本不等式的证明 1．代数法：方法一 因为a＞0，b＞0，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的a，b， 得，当且仅当时，等号成立． 即( a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 方法二 因为， 所以，即，所以． 方法三 要证，只要证，即证， 即证，显然总是成立的，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．几何法：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD．易证， 则CD2＝CA·CB，即CD＝______________． 这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即， 当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立． 由此我们可得的几何意义：半径不小于半弦． 四、重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式 1．(a，b同号)；(a，b异号)． 2．(a＞0)；(a＜0)． 3．(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)． 4．，，4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2． 5．． 6．为正实数，且． 五、均值不等式链 若，，则，当且仅当时，等号成立． 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数． 六、最值定理 已知，，则 （1）若为定值，则当且仅当时，积有最大值(简记：和定积最大)； （2）若为定值，则当且仅当时，和有最小值(简记：积定和最小)． 一、 二、 三、 帮—重点 重要不等式，基本不等式的公式、证明、几何解释、变形及推广 帮—难点 均值不等式链的应用、利用基本不等式求最值、不等式的证明 帮—易错 忽略等号成立的条件、等号成立的一致性导致错误 1．利用基本不等式判断不等式是否成立 要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件． （1）设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝，r＝(f(a)＋f(b))，则下