1 认识无理数（第2课时）-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

第课时 掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性. 借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想. 在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力. 【重点】 能用所学定义正确判断所给数的属性. 【难点】 无理数概念的建立. 【教师准备】 计算器、立方体、多媒体课件. 【学生准备】 计算器、复习有理数的分类. 导入: 前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢? 1.有理数是如何分类的? 【问题解决】 有理数 2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目. [设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目. [过渡语] 上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示. 一、数的小数表示 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? (1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由. (2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢? 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<S<2.0164 1.414<a<1.415 1.999396<S<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449 【思考】 a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长? 【归纳总结】 a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗? 事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数. 【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计. (2)如果结果精确到0.01呢? (提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24) 同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数. [设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想. 二、有理数的小数表示,明确无理数的概念 思路一 请同学们以学习小组的形式活动. 【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么? 3,,,-,. 【答案】 3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0.. 分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况? 思路二 回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢? 【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数) 【想一想】 你能找到其他的无理数吗? [设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念. 三、例题讲解 下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? 3.14,-, 0.,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-,0.; 无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数. 2.任何一个有理数都可以化成分数的形式(q≠0,p,q为整数且互质),而无理数不能. [设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类. [知识拓展] 确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法: