4 估算-【新教材完全解读】初中八年级上册数学教学教案（北师大版）

4　估　算 1.能通过估算检验计算结果的合理性. 2.能估计一个无理数的大致范围. 3.通过估算比较两个数的大小. 通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感. 掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感. 【重点】 估计一个无理数的大致范围. 【难点】 通过估算比较两个数的大小. 【教师准备】 梯子模型. 【学生准备】 复习开平方和开立方及比较数的大小的方法. 导入一: 某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示. 如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢? 导入二: 自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算) 导入三: “神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为 . 【提示】 v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒. 一、引例探究 [过渡语] 通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢? 某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少? 解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米, 由题意得x·2x =400000, 2x2=400000, x=. 那么=? 【问题】 (1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流. (2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米) 【问题解决】 (1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为200000平方米,大家估计一下,哪个数的平方是200000?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方. (2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米. [设计意图] 从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值. [过渡语] 我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢? 【问题】 (1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流. ①≈0.066; ②≈96; ③≈60.4. (2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1) 【问题解决】 (1)这些结果都不正确. (2) ≈10. [设计意图] 同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备. 二、例题讲解 [过渡语] 学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢? 生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗? 〔解析〕 梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果. 解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=, 因为5.62=31.36<32,所以>5.6, 因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头. 三、比较无理数的大小 【问题】 比较与的大小. 【问题解决】 与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以. [知识拓展]