第13讲 幂函数的图像与性质（应用）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

新高一同步数学讲义 “幂函数的图像与性质（应用）” 知识定位 熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。 知识梳理 一、幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 2、 幂函数的图像 取值范围不同，图像也不相同， α的正负： α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立 注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。 比如幂函数定义域分别为x∈R，x∈R，x≠0。 3、 幂函数的性质 （1）所有的幂函数在x∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. <0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限接近,向右与X轴无限地接近. 4、 幂函数的运算 （一）两个重要公式 ① ； ② （注意 必须使 有意义）。 （二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂: ; ②正数的负分数指数幂: ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 5、 　规律总结 　　 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 　　 2．对于幂函数y＝ ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 ＜0，0＜ ＜1和 ＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意 ＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即 ＞0（ ≠1）时图象是抛物线型； ＜0时图象是双曲线型； ＞1时图象是竖直抛物线型；0＜ ＜1时图象是横卧抛物线型． 3. 当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 = （其中,pq互质，p和q∈Z），若p为奇数q为奇数时，则y= 是奇函数，若 p为奇数,q为偶数时，则y= 是偶函数，若 p为偶数q为奇数时，则y= 是非奇非偶函数． 4. 幂函数的图象特征：幂函数y＝ ,x∈（0，+∞），当 >1时，若0<x<1，其图象在直线y=x下方，若 x>1，其图象在直线y=x上方，当 <1时，若0<x<1，其图象在直线y=x上方，若x>1， 其图象在直线 y=x下方． 例题精讲 【题目1】已知函数f(x)＝(2m2+m) 为幂函数且是奇函数，则实数m的值是（ ） 【答案】-1 【解析】 ∵ 函数f(x)＝(2m2+m) 为幂函数 ∴2m2+m=1 m=-1或m= 当m=-1时，f（x）=x-1是奇函数，满足题意； 当m＝ 时，f(x)＝ 不是奇函数，不满足题意；故答案为：-1 【知识点】幂函数的图像与性质(应用)； 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目2】 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|-2x在R上有3个零点；③ (x−2)≥0的解集为[2，+∞）；④当n≤0时，幂函数y=xn的图象与两坐标轴不相交；其中正 确的命题是（　　） 【答案】②④ 【解析】①y=1与幂函数y=x0的定义域不同，故y=1不是幂函数；②在同一平面坐标系中画出y=2x与函数y=|x+2|的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数y=|x+2|-2x在R上有3个零点正确；③ (x−2)≥0的解集为[2，+∞）∪{1}，故不正确； ④根据幂函数的