第04讲集合的运算（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第04讲集合的运算（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 交集的概念及运算 典型例题二 根据交集结果求集合或参数 典型例题三 根据交集结果求集合元素的个数 典型例题四 并集的概念及运算 典型例题五 根据并集结果求集合或参数 典型例题六 根据并集结果求集合元素的个数 典型例题七 补集的概念及运算 典型例题八 根据补集运算确定集合或参数 典型例题九 交并补混合运算 典型例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【典型例题一 交集的概念及运算】 【例1】1．已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的概念进行求解． 【详解】根据题意，, 则. 故选：A 【例2】．集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以． 故选：C． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 3．已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，然后由交集运算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合A，B，根据交集概念求解即可. 【详解】，即，解得， 集合，又， 所以. 故选：A 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 7．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 8．已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列式运算得解. 【详解】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 【典型例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 【例2】．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解法1  由题意知S所有可能的集合为，，则符合条件的集合S的个数为12． 解法2  由题意，集合，若，则，此时集合S的个数为，所以当时，可得集合S的个数为． 1．若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 因此，的元素的个数是. 故选：C. 2．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【详解】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C 3．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求得，即可求解. 【详解】由，消整理得到，解得或， 当时，，当时，，所以， 故选：C. 4．设集合，，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先得到，利用交集概念得到，得到答案. 【详解】，， 故，元素个数为3. 故选：B 5．设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 【答案】C 【分析】由，可得，可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出集合，即可得解. 【详解】由，可得， 因为、，必有，且， 所以，或，解得或， 因此，. 故选：C. 6．若，，则的最大、最小值分别是（   ） A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4 【答案】C 【分析】结合交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 则，即的最大值为20，最小值为12. 故选：C. 7．若，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以集合中元素的个数为. 故选：. 8．高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，总共有35人，而参加比赛的人数为27人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的有27名学生， 参加田赛的有14人，参加径赛的有21人， 则田赛和径赛都参加的学生人数为人, 故选：B 【典型例题三 根据交集结果求集合元素的个数】 【例1】．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据集合中元素特征直接利用交集运算法则可得结果. 【详解】由可知集合中的元素是非负偶数， 所以可得，则中元素的个数为5. 故选：A 【例2】．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 1．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合M，再根据并集概念计算. 【详解】解：由 ， 所以 故选： D 3．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系及交集、并集的运算进行判断即可. 【详解】因为但、但，所以AB都是错误的； 因为，故C是错误的； 因为，故D是正确的. 故选：D. 4．设全集，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案． 【详解】全集，， ，又， 则． 故选：B． 5．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，根据即可的基本关系和运算即可求解. 【详解】依题意得，，所以. 均不成立，,ABC错误 故选：D. 6．已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得3，，3，，1，，1，，故2，，故． 7．设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 8．已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出集合A，再结合并集的定义，即可求解． 【详解】由题意有， 因为，所以，则满足条件的集合B为，，共2个． 故选：B. 【典型例题四 并集的概念及运算】 【例1】．已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】由于，， 故， 故选：A 【例2】．设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 1．已知集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念分析集合的可能情况，再逐个选项分析即可求解. 【详解】由题意，得集合中一定含有，，， 元素和可能是集合的元素也可能不是， 所以A，B，C错误，D正确． 故选：D． 2．已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素. 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 3．已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可. 【详解】设集合和集合的元素个数分别为， 则由有2个元素，有6个元素可知，． 即①． 又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个， 所以②． 联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3， 所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，， 所以， 故选：C． 4．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】化简集合，即可求出中元素的个数. 【详解】由题意， 因为，所以，有4个元素， 故选：B. 5．集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【分析】根据交集和并集分析可得集合的元素个数最多有7个，进而求子集个数的最大值. 【详解】设集合分别有个元素， 由题意可知：，即， 可知：当且仅当时，取到最大值7， 即集合的元素个数最多有7个，所以集合的子集个数最多为个. 故选：D. 6．某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设立集合，利用图分析集合之间的关系，运算即可得解. 【详解】解：设全班学生构成的集合为全集，围棋爱好者构成的集合为， 足球爱好者构成的集合为，由题意，中有个元素，中有个元素， 全集中有个元素， ∵同时爱好这两项的学生构成的集合就是，    ∴要使中人数最多，即元素个数最多，需满足是的真子集，如上图， ∴.    要使中人数最少，即元素个数最少，需满足，如上图， ∴，解得：. ∴. 故选：D. 7．设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 【典型例题五 根据并集结果求集合或参数】 【例1】．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，，则. 已知，，所以. 故选：A. 【例2】．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，． 2．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简，然后结合交集、补集合的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3．若全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集，补集与子集的意逐项判断即可. 【详解】因为，，所以，，故AD错误； 所以，，所以，，故B正确，C错误. 故选：B. 4．已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由题设，则． 故选：A. 5．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，且，则，即. 6．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 7．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据集合交集概念计算即可. 【详解】因为，， 所以，故， 故选：A 8．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 【典型例题六 根据并集结果求集合元素的个数】 【例1】．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 【例2】．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，根据条件得到，，分，和三种情况，得到满足要求. 【详解】， ，故，， 若，此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，此时，不合要求， 综上，. 故选：C 1．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合补集的运算结果和集合元素的互异性，可求参数. 【详解】因为，所以，解得或2． 当时，，不满足互异性，舍去； 当时，集合，此时，符合题意，故． 故选：B 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 3．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 4．已知全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集与并集运算即可. 【详解】因为全集，， 所以，又， 则. 故选：A. 5．已知全集，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照补集交集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：． 6．已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集、并集、 运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 7．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何的交补运算即可求解. 【详解】，，所以， 故选：A. 8．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集、并集的定义计算可得. 【详解】因为全集，，， 所以，则. 故选：A 【典型例题七 补集的概念及运算】 【例1】．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 【例2】．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 1．已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得中的元素，再根据，，，即可求得结果. 【详解】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 2．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交并补的计算方法即可判断求解. 【详解】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得. 故选：A. 3．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算的定义即可求解. 【详解】, 由于，故， 故选：D 4．设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 5．已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集及交集的运算结果求出. 【详解】全集，， 则， 所以. 故选：D 6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 7．（多选题）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 8．（多选题）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 【典型例题八 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】．关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 【答案】ACD 【详解】 选项A，若，即A是B的真子集，所以，故A正确．选项B，若，则A，B不一定互为补集，故B错误．选项C，是由集合A，B的公共元素构成，所以，故C正确．选项D，根据并集的知识可知，故D正确． 【例2】．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AB 【分析】根据交集、并集的知识列不等式，进而确定正确答案. 【详解】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为， 集合中元素个数分别为， 则， 因为， 且， 所以， 则，所以AB选项正确，CD选项错误. 故选：AB    1．（多选题）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 2．（多选题）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 3．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案. 【详解】因为A为非空集合，则， 解得；， 若，则， 则或， 解得或，又， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 5．已知集合，定义集合，，若，记为集合S中元素的个数，则的最大值为 . 【答案】67 【分析】利用不等式性质求出中元素个数不大于，再由特例可得的最大值. 【详解】设满足题意，其中， 则， ，而，于是， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为，则， 因此，解得，设， 则，， 由，得，即，于是的最小值为34， 则当时，中元素最多，即时满足题意， 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：组合最值问题，往往先根据题设条件得到范围，在给出实例说明等号可取即得最值. 6．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出集合，再根据并集的定义求出. 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 7．已知集合，，且 . 【答案】 【分析】根据并集运算的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故答案为： 8．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可. 【详解】，∴． ∴当时，；当时，；当时，， ∴m的值为0，1，，∴m的值为． 故答案为：. 【典型例题九 交并补混合运算】 【例1】．已知集合，集合，若，则实数 . 【答案】-3 【分析】根据得，再讨论元素间的关系可解. 【详解】，即，若，则，不符合； 若，则，经检验符合题意. 故答案为：-3. 【例2】．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 1．已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用集合并集的定义，再结合数轴可得. 【详解】根据，结合数轴（如图）可知，在2的左侧或与2重合，故， 即实数的取值范围是． 故答案为： 3．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 【答案】41 【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 4．若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 5．已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 6．已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】 或 或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 7．设全集，且，若，则 . 【答案】4 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 8．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 【典型例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 【例2】．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 1．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 2．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 3．已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解； （2）求出，根据并集结果得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 4．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 5．已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 6．设集合，. (1)若，求实数的值： (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题及补集定义可得答案； （2）由题，或，据此可得答案. 【详解】（1）由得，解得． （2）若，解得，此时，，满足题意． 若，解得，此时，，满足题意． 综上所述，实数的取值集合为． 7．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 8．已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集概念直接可得结果. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 2．为了增强学生的身体素质，培养学生顽强拼搏的意志，某校举行了田径运动会．甲班参加田赛的学生有16人，参加径赛的学生有25人，田赛和径赛都参加的有7人，则该班参加本次运动会的学生共有（    ） A．48人 B．41人 C．34人 D．32人 【答案】C 【分析】根据题干信息得出，然后利用公式求解． 【详解】记“参加田赛的学生”为集合，“参加径赛的学生”为集合， 则， 所以， 故选：C． 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 4．设全集，，（为常数），且，则下列成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，根据可求得实数的取值范围，利用集合的基本运算可判断各选项的正误. 【详解】或，，且, 则，， 对于A选项，取，则，， 所以，，A选项错误； 对于B选项，取，则或，此时，B选项错误； 对于C选项，取，则，或， 此时，或或，C选项错误； 对于D选项，，则，，此时，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查与集合运算正误的判断，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题 5．已知集合，，则的子集有 个． 【答案】8 【分析】几何有n个元素，则有个子集﹒ 【详解】A∩B＝{0，3，7}，则A∩B的子集个数为＝8个﹒ 故答案为：8 6．设全集，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据补集的定义可求得集合，即可求得实数的值. 【详解】因为，，则，又因为，故. 故答案为：. 7．已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义可得，求出a的值，验证是否符合题意即可. 【详解】由题意知，， 所以，得或， 当时， ，由集合元素的互异性可知不成立； 当时， ， 则， 故答案为： 8．设为全集，，则 ． 【答案】 【解析】由条件可得，然后可得. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单. 9．已知集合，，，则 ， ． 【答案】 【分析】先求得集合，，结合交集、并集和补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由题意得，集合，， 因为，可得，， 所以． 故答案为：；. 10．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】 【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示： 由韦恩图可的，解得. 因此，同时参加田赛和径赛的有人. 故答案为：. 11．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 12．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，可借助于数轴将集合A与集合B在数轴上表示出来，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】将集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}画在数轴上， 根据， 则实数， 故答案为：. 13．已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则. 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时. 综上所述，. 故答案为：. 14．已知集合， ，则 ． 【答案】 【分析】结合分别求出交集即可. 【详解】当时，; 当时，； 当时，. 所以 故答案为： 15．设全集，若，，，则 ． 【答案】 【分析】作出韦恩图，将全集中的各元素放置在合适的区域内，得出集合和集合，再根据交集的定义可得出集合. 【详解】全集，作出韦恩图如下图所示： 由图形可知集合，，因此，. 故答案为. 【点睛】本题考查集合的混合运算，同时也考查了韦恩图法的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 16．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以一定各包含4个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9， 特征数的和最小，如：，特征数为13； ，特征数为11；，特征数为9； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为13； ，特征数为15；，特征数为17； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的差为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可. 三、解答题 17．设全集，，若，求的值． 【答案】2 【分析】根据，解得的值，然后再验证即可. 【详解】设全集，， 因为，所以，解得， 当时，成立，所以． 18．已知 （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合． 【答案】（1）； （2） . 【分析】（1）代入a的值，求出A，B的交集即可；（2）通过讨论a的范围，解出关于B的方程，结合B是A的子集，得到关于a的方程，解出即可． 【详解】（1）∵A＝{-2,2},时，B＝{2}  . (2)由得 当时，B＝{2}符合题意， 当时，由 得 ，而∴ ，解得． ∴的取值集合为． 【点睛】本题考查了集合的运算，考查方程问题以及分类讨论思想，是一道基础题． 19．若，则A与B有什么关系？呢？ 【答案】若，则；若，则. 【详解】若，则集合A的每个元素，都属于集合A且属于集合B，所以； 若，则属于集合A或属于集合B的每个元素，都是集合A的元素，所以. 20．已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由判别式为0可得； （2）由得，然后对分类讨论可得； 【详解】（1）集合B元素个数为1．， 即，解得：； （2）∵，∴ 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是 21．已知集合，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据列不等式组，解不等式组即可求解； （2）由已知可得，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，所以，所以或，解得：或， 所以的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲集合的运算（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 交集的概念及运算 典型例题二 根据交集结果求集合或参数 典型例题三 根据交集结果求集合元素的个数 典型例题四 并集的概念及运算 典型例题五 根据并集结果求集合或参数 典型例题六 根据并集结果求集合元素的个数 典型例题七 补集的概念及运算 典型例题八 根据补集运算确定集合或参数 典型例题九 交并补混合运算 典型例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【典型例题一 交集的概念及运算】 【例1】1．已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【例2】．集合，则（   ） A． B． C． D． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．设集合，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典型例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【例2】．已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（   ） A．4 B．10 C．11 D．12 1．若集合，，则的元素的个数是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 4．设集合，，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．设集合，，若，则中元素个数为（    ） A． B． C． D．至少个 6．若，，则的最大、最小值分别是（   ） A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4 7．若，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 【典型例题三 根据交集结果求集合元素的个数】 【例1】．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设全集，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 7．设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典型例题四 并集的概念及运算】 【例1】．已知集合，集合B满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】．设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 1．已知集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 3．已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 4．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 6．某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D．       7．设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典型例题五 根据并集结果求集合或参数】 【例1】．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2】．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 3．若全集，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 7．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【典型例题六 根据并集结果求集合元素的个数】 【例1】．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 1．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，，，则（    ）． A． B． C． D． 6．已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典型例题七 补集的概念及运算】 【例1】．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 1．已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 4．设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题八 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】．关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 【例2】．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8    1．（多选题）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 2．（多选题）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 4．已知集合和，满足，，则实数 ． 5．已知集合，定义集合，，若，记为集合S中元素的个数，则的最大值为 . 6．已知集合，，则 . 7．已知集合，，且 . 8．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【典型例题九 交并补混合运算】 【例1】．已知集合，集合，若，则实数 . 【例2】．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 1．已知集合，若，则实数的取值范围为 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 3．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 4．若集合，，，则集合中的元素个数是 . 5．已知全集，集合，则 ． 6．已知全集，集合，，则 ，（ ．    7．设全集，且，若，则 . 8．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【典型例题十 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【例2】．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 1．已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 2．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 3．已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 4．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 5．已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 6．设集合，. (1)若，求实数的值： (2)若，求实数的取值集合. 7．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 8．已知全集，集合，，求，. 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．为了增强学生的身体素质，培养学生顽强拼搏的意志，某校举行了田径运动会．甲班参加田赛的学生有16人，参加径赛的学生有25人，田赛和径赛都参加的有7人，则该班参加本次运动会的学生共有（    ） A．48人 B．41人 C．34人 D．32人 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 4．设全集，，（为常数），且，则下列成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知集合，，则的子集有 个． 6．设全集，集合，若，则 . 7．已知，若，则 . 8．设为全集，，则 ． 9．已知集合，，，则 ， ． 10．某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 11．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 12．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若，则实数a的取值范围为 ． 13．已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 14．已知集合， ，则 ． 15．设全集，若，，，则 ． 16．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 三、解答题 17．设全集，，若，求的值． 18．已知 （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合． 19．若，则A与B有什么关系？呢？ 20．已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 21．已知集合，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$