专题07一元二次不等式（解析版）-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题07一元二次不等式 1、 考点传真： 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型； 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 二、知识点梳理 1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0). 在不等式ax2＋bx＋c>0a≠0中， 如果二次项系数a<0，可根据不 等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　开口向上的二次不等式的解法顺口溜：大于取两边，小于取中间．　　 二、常用结论汇总——规律多一点 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. 三、例题： 例1．(2018全国卷Ⅰ)设函数，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D． 例2.（2017浙江卷）若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则 A． 与有关，且与有关 B． 与有关，但与无关 C． 与无关，且与无关 D． 与无关，但与有关 【答案】B 【解析】函数的对称轴为， ①当，此时，，； ②当，此时，，； ③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B． 例3．（2017新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是___． 【答案】 【解析】当时，不等式为恒成立； 当，不等式恒成立； 当时，不等式为，解得，即； 综上，的取值范围为．  例4.（2017北京）已知，，且，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】由题意，，且， 又时，，时，，当时，，所以取值范围为． 四、巩固练习： 1．不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　) A．{x|－1<x<3}　　　　 B．{x|x>3或x<－1} C．{x|－3<x<1} D．{x|x>1或x<－3} 【答案】A 【解析】原不等式变形为x2－2x－3<0， 即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.故选A. 2．如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于(　　) A．－81 B．81 C．－64 D．64 【答案】B　 【解析】不等式x2<ax＋b可化为x2－ax－b<0，其解集是{x|1<x<3}，那么，由根与系数的关系得得所以ba＝(－3)4＝81.故选B. 3．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1) C．(－2,1) D．(－1,2) 【答案】C 【解析】∵f(x)＝ ∴函数f(x)是奇函数，且在R上单调递增， ∴f(2－a2)>f(a)等价于2－a2>a，即a2＋a－2<0， 解得－2<a<1， ∴实数a的取值范围是(－2,1)，故选C. 4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2] D．(－2,2) 【答案】　C 【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立； 当a－2≠0时，则有解得－2<a<2， ∴－2<a≤2，故选C. 5. 已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有(　　) A．m≤－3 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．m≥－4 【答案】A 【解析】]　令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时f(x)取得最小值，为－3，∴m≤－3，