专题04数列求和-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题04数列求和 一、考点传真： 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 二、知识点梳理： 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. [微点提醒] 1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2.12＋22＋…＋n2＝. 3.裂项求和常用的三种变形 (1)＝－. (2)＝. (3)＝－. 三、例题： 例1.（2020年江苏卷，11）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知数列的前项和，则的值是 . 【答案】4 【解析】通解 当时，①，当时，，则②，③，④，②-①得⑤，③-②得⑥，④-③得⑦，⑥-⑤得，⑦-⑥得，则，，，所以. 优解 由题意可得，当时，，易知当时也成立，则对任意正整数恒成立，则，，. 光速解 由等差数列和等比数列的前项和的特征可得等差数列的前项和，等比数列的前项和，则，，. 例2.（2020年全国新高考1卷，14）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为________. 【答案】 【解析】设，，，则，得，于是，所以，则，得.故. 例3.（2020年天津卷，19）已知为等差数列，为等比数列，. （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和. 【解析】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，，可得，从而的通项公式为.由，又，可得，解得，从而的通项公式为. （2）证明：由（1）可得，故，，从而，所以. （3）解：当为奇数时，；当为偶数时，. 对任意的正整数，有 ， 和 .① 由①得 .② 由①②得，从而得. 因此，. 所以，数列的前项和为. 例4.（2019天津卷）设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 【解析】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意得解得 故. 所以，的通项公式为的通项公式为. （Ⅱ）（i）. 所以，数列的通项公式为. （ii） . 例5．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____． 【答案】 【解析】通解 因为，所以当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 所以． 优解 因为，所以当时，，解得， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以． 例6．（2018浙江卷）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【解析】(1)由是，的等差中项得， 所以， 解得． 由得， 因为，所以． (2)设，数列前项和为． 由，解得． 由(1)可知， 所以， 故，， ． 设，， 所以， 因此，， 又，所以． 例7．(2018天津卷)设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和为， (i)求； (ii)证明． 【解析】(1)设等比数列的公比为q．由可得． 因为，可得，故． 设等差数列的公差为d，由，可得由， 可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 (2)(i)由(1)，有， 故． (ii)证明：因为 ， 所以， ． 四、巩固练习： 1．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2， Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】　∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A. 2．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前1