专题03等比数列-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题03 等比数列 一、考点传真： 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式； 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.了解等比数列与指数函数的关系. 二、知识点梳理： 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 【注意点】 （1）.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列. （2）.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. （3）.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 三、例题： 例1.（2020年全国2卷理数，6）数列中，，.若，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】令，则由，得，即，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以，所以，解得，故选C. 例2.（2020年全国1卷理数，17）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和. (1)；(2). 【解析】(1)设的公比为，由题设得，即. 所以，解得(舍去)，. 故的公比为. (2)记为的前项和.由(1)及题设可得，.所以， . 可得 . 所以. 例3.（2020年全国新高考1卷，18）已知公比大于1的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和. 【解析】（1）设的公比为.由题设得. 解得（舍去），.由题设得. 所以的通项公式为. （2）由题设及（1）知，且当时，. 所以 . 例4．（2019全国卷III）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A． 16 B． 8 C．4 D． 2 【答案】C 【解析】设公比为q,则由a5=3a3+4a1,得又==4 例5.（2019全国II卷文科）已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【解析】（1）设的公比为q，由题设得 ，即. 解得（舍去）或q=4. 因此的通项公式为. （2）由（1）得，因此数列的前n项和为. 例6.(2018全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 【解析】　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 例7.(2017全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】　B 【解析】　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B. 四、巩固练习： 1．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是(　　) A.或－ B．－ C. D． 【答案】C 【解析】　由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同， 所以b2＝2.所以＝.故选C. 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，