专题02等差数列-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题02 等差数列 一、考点传真： 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二、知识点梳理： 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 【注意点】 （1）.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. （2）.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. （3）.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 三、例题： 例1.（2020年全国2卷理数，4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( ) A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 【答案】C 【解析】由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为，易知其首项，公差，所以.设数列的前项和为，由等差数列的性质知也成等差数列，所以，所以，得，所以三层共有扇面形石板的块数为，故选C. 例2.（2020年北京卷，8）在等差数列中，，，记,则数列（ ） A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，，，，，.令，则，时，；时，.，，，，，当时，，且，，有最大项，无最小项，故选B. 例3.（2020年浙江卷，7）已知等差数列的前项和为，公差，且.记下列等式不可能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，，，.由等差数列的性质易知A成立；若，则，故B成立；若，即，则，故C可能成立；若，即，则，与已知矛盾，故D不可能成立. 例4.（2020年浙江卷，11）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列.数列的前3项和是___________. 【答案】10 【解析】解法一 因为，所以. 解法二 因为，所以，所以. 例5. （2019全国卷Ⅲ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则___________. 【答案】100 【解析】 在等差数列中，由，，得， 所以，则． 例6.（2019天津卷）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足求. 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意，得，解得，故，. 所以，的通项公式为，的通项公式 为. （Ⅱ） . ① ， ② ②-①得，， 故. 所以， . 例7.（2019江苏卷）已知数列是等差数列，是其前n项和.若 ，则的值是 . 【解析】 设等差数列的首项为，公差为， 则，解得． 所以. 例8.（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【解析】(1)设的公差为，由题意得． 由得． 所以的通项公式为． (2)由(1)得． 所以当时，取得最小值，最小值为−16． 例9.（2018北京卷）设是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【