专题01数列的概念及表示-2021年高考数学（理）突破性讲练之数列与不等式

专题01 数列的概念及表示 一、考点传真： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 二、知识点梳理： 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 【注意点】 （1）.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ （2）.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. （3）.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 三、例题： 例1.（2020年全国2卷理数，12）周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标.下列周期为5的序列中，满足的序列是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，因为，，不满足，故A不正确；对于B，因为，不满足，故B不正确；对于C，因为，，，，满足，故C正确；对于D，因为，不满足，故D不正确.综上所述，故选C. 例2.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 【答案】-63 【解析】由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)， 得an＝2an－1. ∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S6＝＝＝－63. 例3.(2016课标全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 【解析】　(1)由题意得a2=,a3=.(5分) (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以=. 故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.(12分) 例4.(2014江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 【解析】　(1)由Sn=,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2. 经验证,a1=1符合an=3n-2, 所以数列{an}的通项公式为an=3n-2. (2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要=a1·am, 即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2, 而此时m∈N*,且m>n, 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 四、巩固练习： 1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a4的值为(　　) A．31　　　　　　　　　 B．30 C．15 D．63 【答案】C　 【解析】由题意，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，故选C. 2．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 019＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 【答案】A　 【解析】由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2， …，于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 018＝a3×672＋3＝a3＝－1. 3．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n2 B．an＝(－1)n·n2 C．an＝(－1)n＋1·n2 D．an＝(－1)n·(n＋1)2 【答案】B　 【解析】易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为an＝(－1)n·n2，故选B.