专题6 导数及其应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题6 导数及其应用 一、单选题 1．定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的解集即为 的解集 构造函数 ，则 ， 因为 ，所以 所以 在 上单调递增，且 所以 的解集为 ， 不等式 的解集为 . 故选C. 2．函数 的图像如图所示，则函数 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选D． 3．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，则 ， ，则 ， 则 ， 令 ， ， 则 ，∴ 递增， ∴ 时， ， ∴ 有唯一零点， ∴ 时， 取最小值， 即 取最小值， ． 故选：C 4．已知 ，记函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 ， ，则（ ） A．当 时， ； B．当 时， ； C．当 时， ； D．当 时， . 【答案】D 【解析】 ， 设 ， 又 ， . ①当 时， 在 上单调递减，从而 . ； ②当 时，即 时； 在 上单调递增，从而 ， ； ③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 ； . 由此选项A和B都不一定恒正确，排除掉A和B选项. 对于选项C：当 时，则只能为情形①或情形③，对于情形①，则 成立；对于情形③，则 ， 的大小无法确定，故选项C错误. 对于选项D：当 时，则只能为情形①或情形③，对于情形①，则 成立；对于情形③，由于 ，因此 ，从而 ，因此正确. 故选：D. 5．已知函数 ，若对任意两个不等的正数 ， ，都有 恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，因为 ，所以 ， 即 在 上单调递增，故 在 上恒成立， 即 ，令 . 则 ， max ，即 的取值范围为 . 故选A. 6．已知函数 且 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知 ， 是偶函数， 且当 时， ， 在区间 上，函数 单调递增， ， 原不等式等价于 EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ，即 ， 解得： ，即不等式的解集是 . 故选：C 7．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ， 函数 为偶函数， 由 则 ， 当 时， 令 ，则 ， 所以 在 为增函数， ， 所以 ，即 ， 所以函数在 为增函数， 又因为函数在定义域内为偶函数， 则 在 为减函数， 由 ， 则 ， 所以 ，化简可得 ， 所以 . 故选：A 8．已知定义域为 的函数 满足 （ 为函数 的导函数），则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 ， 定义域为 的函数 满足 ， ， 函数 在 上单调递增， 当 时，由 ，知 ， 当 时，显然不等式 成立. 当 时，则 ，所以 ， 整理得 ，即 ， 所以， ，得 ，则 ； 当 时，则 ，所以 ， 整理得 ，即 ， 所以， ，得 ，则 . 综上所述，原不等式的解集为 . 故选：D． 9．已知 是函数 的极大值点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则 ， ， 当 时， 时， ， 单调递减，而 ， 时， ， ， 且 ， ， 即 在 上单调递增， 时， ， ， 且 ， ， 即 在 上单调递减， 是函数 的极大值点， 满足题意. 当 时，存在 使得 ，即， ， 又 在 上单调递减， 时， ， ， 这与 是函数 的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是 . 故选：B 10．已知函数 的图象关于点 对称，函数 对于任意的 满足 （其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，函数 的图象关于点 对称， 故 的图像关于原点对称， 故 是奇函数， 由函数 对于任意的 满足 ， 令 ， 故 ， 所以函数 在 上单调递减， 由 ， 则 为偶函数， 所以 即 ， 即 ， 故选：B 二、填空题 11．已知 ， 若满足 的 有四个，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 满足 的 有 个， 方程 有4个根， 设 ，则 ，令 ，得 . 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增， ， 画出函数 的大致图象，如图所示： ， 保留函数 的 轴上方的图象，把 轴下方的图象关于 轴翻折到 轴上方， 即可得到函数 的图象如下图所示： 令 ，则 ， 所以要使方程 有 个根， 则方程 应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在 内，一个根在 内， 设