专题5 函数的应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题5 函数的应用 一、单选题 1．若关于 的方程 在区间 上仅有一个实根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，可得 ， 令 ，可得 ，令 ，可得 ， 可得函数递增区间为 ，递减区间为 ， 由函数在区间 上仅有一个零点， ， ，若 ，则 ，显然不符合题意，故 ， 或 ， 可得 或 ， 故选C. 2．已知函数 是定义域在 上的偶函数，且 ，当 时， ，则关于 的方程 在 上所有实数解之和为（ ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【解析】因为 ，则 ，所以 的最小正周期为 ，又由 得 的图像关于直线 对称. 令 ，则 的图像如图所示， 由图像可得， 与 的图像在 有7个交点且实数解的和为 ,故选D. 3．已知函数 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，画出函数 的图象如下图所示： 恰有三个零点 即 有三个不同交点，即 有三个不同交点 由图象可知，当直线斜率在 EMBED Equation.DSMT4 之间时，有三个交点 即 所以 可得 所以选A 4．已知函数 ，若关于x的方程 恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 时， ， ， EMBED Equation.DSMT4 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 取得极小值 ， 同理可得 在 上单调递增， 作出 的函数图像如图所示： 设 的两根为 由 恰好有四个不相等的实数根， 则方程的一根在区间 上，另一根在区间 上 不妨设 ， ， 根据二次函数零点分布可得 ，即 ，解得 故实数m的取值范围是 . 故选：A 5．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的图象如下图所示： 由图可知：当 时且 ，则令 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 ， 所以 ，令 ， 所以 ， 所以 ，所以 . 故选C. 6．已知函数 ，若对于 ， ，使得 ，则 的最大值为（　　） A．e B．1-e C．1 D． 【答案】D 【解析】不妨设f( )=g( )＝a， ∴ ＝ a， ∴ ＝ln(a+e)， ＝ ， 故 ＝ln(a+e)- ，（a＞-e） 令h（a）＝ln(a+e)- ， h′（a） ， 易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数， 且h′（0）＝0， 故h（a）在a 处有最大值， 即 的最大值为 ； 故选D． 7．已知函数 ，若方程 有4个不同的实根 ，且 ，则 ( ) A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【解析】 可以画出如上图的图象，由性质可知： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选择D. 8．某企业生产 两种型号的产品，每年的产量分别为 万支和 万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 两种产品的年产量的增长率分别为 和 ，那么至少经过多少年后， 产品的年产量会超过 产品的年产量（取 ）( ) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 【答案】B 【解析】依题经过 年后， 产品的年产量为 产品的年产量为 ， 依题意若 产品的年产量会超过 产品的年产量， 则 化简得 ，即 ， 所以 ，又 ，则 所以至少经过 年 产品的年产量会超过 产品的年产量. 故选：B 9．对于函数 ， ，若存在 ，使 ，则称 ， 是函数 与 的一对“雷点”.已知 ， ，若函数 与 恰有一个“雷点”，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，整理得 ，它表示圆心为 半径为1的圆（x轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示. 由 知， 的图象为过定点P(0,1)的直线l， 因为函数 与 恰有一个“雷点”, 与右侧下半圆有一个交点， 利用圆心到直线的距离等于半径可求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率 ， 直线PA,PB的斜率分别为 ，故实数k的取值范围为： . 故选：C 10．定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数( )使得 对任意实数 都成立，则称 是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论： ① 是常数函数中唯一一个“—伴随函数”； ②“ —伴随函数”至少有一个零点； ③ 是一个“—伴随函数”； 其中正确结论的个数是 （ ） A．1个； B．2个； C．3个； D．0个； 【答案】A 【解析】①不正确，原因如下． 若f（x）=c≠0，则取λ=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴随函数 ②不正确，原因如下． 若 f（x）