专题2 函数及其性质-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题2 函数及其性质 一、单选题 1．己知奇函数 的导函数为 ， ．当 时， ．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 EMBED Equation.DSMT4 所以当 时， 是增函数，因为 是奇函数，所以有 ， 因此有 ，所以 是偶函数， 而 ， 可以化为 ， 是偶函数，所以有 ，当 时， 是增函数，所以有 ，故本题选D. 2．已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知函数 是 上的减函数，于是有 ，解得 ， 因此，实数 的取值范围是 ． 故选：B. 3．已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，令 ， ， ，则 为偶函数， 令 ， 则 ，若 ， 所以 在 单调递增 又 在 上为增函数， 所以 在 上为增函数， 原不等式 ，即 ， 所以 ，所以 或 ， 故选：D. 4．已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且函数 与直线 有一个交点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 为奇函数， 为偶函数，所以 ， 则 ，所以函数 是周期为 的周期函数. 因为奇函数 的定义域为 ，所以 . 因为函数 与直线 有一个交点 ，所以 . 所以 ， ， . 所以 . 故 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 5．已知函数 ，若函数 至多有 个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ，得 ， ，当 时， ， 当 时， ，函数单调递减， 当 时， ，函数单调递增， 所以 时，函数的最小值 ，且 ， ， ，当 时， ， 当 时， ，函数单调递减， 当 时， ，函数单调递增， 所以 时，函数的最小值 ， 作出函数 与 的图象，观察他们的交点情况，可知， 或 时，至多有两个交点满足题意， 故选：B. 6．定义在R上的奇函数 满足： ，且当 时， ，若 ，则实数m的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【解析】由 为奇函数知 ， ∴ ，即 ， ∴ ，∴ 是周期为3的周期函数， 故 ，即 ，∴ . 故选：B. 7．定义： 表示 的解集中整数的个数.若 ， ，且 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 将 的图象向右平移一个单位得到 的图象，再将 轴上方图象部分向下翻折对称，得到 的图象如图所示，注意到 , 结合函数 的对称性可知，为使 的解集中整数的个数为2（整数解只能是2和3），必须且只需 ,且 ，即 且 的取值范围是 . 故选：D. 8．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记 为 ， ， ∴ 是奇函数，排除C; 当 时， , 故B、D错误， 故选：A. 9．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 设 ，定义域 ，所以 为奇函数， ， 所以 单调递增， 不等式 解得 故选C项. 10．定义在R上的偶函数 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，且在区间 上单调递减，已知 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】B 【解析】由 可得 ，即函数的周期 ， 因为在区间 上单调递减，故函数在区间 上单调递减， 根据偶函数的对称性可知， 在 上单调递增， 因为 ， 是锐角三角形的两个内角， 所以 且 即 ， 所以 即 ， ． 故选： ． 二、填空题 11．函数 ，在区间 上的最大值为 ，最小值为 .则 _____. 【答案】 【解析】因为 设 ， 所以 ； 则 是奇函数， 所以 在区间 上的最大值为 ，即 ， 在区间 上的最小值为 ，即 ， ∵ 是奇函数， ∴ ， 则 . 故答案为：2． 12．若定义在 上的奇函数 满足 ， ，则 的值为_______． 【答案】 【解析】由于定义在 上的奇函数 满足 ，则该函数是周期为 的周期函数，且 ， 则 ， ， ， 又 ， ，则 ， 因此， . 故答案为： . 13．设函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 恒有 ，已知当 时， ，有下列命题：①2是函数 的周期；②函数 在 上是增函数；③函数 的最大值是1，最小值是0；④直线 是函数 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】用 换 中的 ，得 ，所以 是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数 是定义在 上的偶函数且 时， ， 作出函数 的部分图象如图所示 由图