专题20 反函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题20 反函数 （反函数的概念，反函数的图像） 知识梳理 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 一、反函数的概念与存在条件 【例1】反函数是 （ ） . . . . 【难度】★★ 【答案】B 【例2】以下函数中，不存在反函数的序号是___________． ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【难度】★★ 【答案】②③④ 【例3】已知函数的图像关于直线对称，求实数的值. 【难度】★★ 【答案】-1 【例4】若函数存在反函数，则方程 ( ) .有且只有一个实根； .至少有一个实根； .至多有一个实根； .没有实根. 【难度】★★ 【答案】C 【例5】若函数的图像经过点，则函数的反函数图像必经过_____. 【难度】★★ 【答案】 【例6】函数f(x)= -2ax-3在区间上存在反函数的重要条件是（） A、 B、 C、 D、 【难度】★★ 【答案】解题策略：应在函数f(x)的单调区间内。 解：函数对称轴为x=a。依题意故选C 【例7】若函数y=f(x)存在反函数，则下列命题不正确的是（） A、函数y=f(x)与函数x=f(y)的图像关于直线y=x对称 B、若y=f(x)是奇函数，则y=f-1(x)也是奇函数 C、若y=f(x)在其定义域上是增函数，则y=f-1(x)在上也是增函数 D、函数y=f(x)与函数的图像重合 【难度】★★ 【答案】C 【例8】下列命题正确的有 （1）偶函数一定没有反函数；(2)奇函数一定有反函数； （3）单调函数一定存在反函数；（4）存在反函数的函数一定是单调函数； 【难度】★★ 【答案】（1）（3） 【例9】，此函数有反函数，则的取值范围 【难度】★★【答案】-2 【例10】已知函数，在存在反函数，则的取值范围。 强调：反函数存在的条件； 【难度】★★ 【答案】或 【巩固训练】 1．已知＝，且的图像的对称中心是0，3，则＝ 【难度】★★ 【答案】2 2．求函数y=+2的反函数定义域。 【难度】★★ 【答案】解：当时y=+2，即y=+2的值域是， ∴y=+2的反函数的定义域为。 注意：反函数的定义域为原函数的值域。 3．已知y=x+m和y=nx-互为相反数，求m,n的值。 解题策略：求其中一个函数的反函数，与另一个函数对应项相同 【难度】★★ 【答案】解：由y=x+m得x=2y-2m, ∴y=x+m的反函数是y=2x-2m. 由题设y=2x-2m与y=nx-表示同一函数， 从而有 注意：一个函数的反函数是唯一确定的。 4．点（1，2）即在y=图像上，又在其反函数的图像上，求a与b的值。 解题策略：（2，1）点也在函数图像上，待定系数法求a,b 【难度】★★ 【答案】解：点（1，2）在反函数图像上，则点（2，1）在原函数y=上，又点（1，2）也在y=上，有。 注意：点（a,b）在图像上，则（b,a）一定在y=f(x)图像上 6．已知f(x)=-1,求。 【难度】★★ 【答案】解题策略：中