专题17 函数的基本性质（3）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题17 函数的基本性质（3） （函数的最值） 知识梳理 一、函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示； 2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集； 3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述； 4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集； 5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结； 二、函数的最值 1、设函数定义域为，则当时总有，则称当时取最大值；当时总有，则称当时取最小值； 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。 三、函数的值域的求法 1．直接观察 2．配方 3．基本不等式/耐克函数 4．判别式法 5．分离常数法/部分分式法 6．换元 7．数形结合 8．单调性 9．奇偶性(*) 例题解析 一、特殊方法 1．直接观察 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 【例1】求函数的值域； 【难度】★【答案】∵故函数的值域是： 【例2】求函数的值域 【难度】★★【答案】 2．配方法 主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． 对于求二次函数或可转化为形如的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解； 【例3】求函数的值域； 【难度】★ 【答案】将函数配方得：∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 【例4】求二次函数的值域； 【难度】★ 【答案】函数的定义域为，，从而函数为对称轴为的开口向下的二次函数，，.即函数的值域为. 注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。 【例5】求的最大值 【难度】★★【答案】35 【例6】设，求的最值 【难度】★★【答案】 【例7】求函数的值域 【难度】★★【答案】 【例8】求函数的值域 【难度】★★★【答案】 3．基本不等式 对形如（或可转化为），可利用求得最值。注意“一正、二定、三相等”； 【例9】求函数的值域； 【难度】★【答案】 【例10】求函数的值域。 【难度】★【答案】定义域，，满足取等号的条件。 【例11】求函数的值域； 【难度】★★【答案】 【例12】求的值域； 【难度】★★【答案】 【例13】求的值域； 【难度】★★【答案】时，；时， 4．判别式法 一般地，形如的函数，我们可以将其转化为的形式，再通过求得的范围；但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误； 【例14】求函数的值域； 【难度】★★ 【答案】可化为 当即时，方程在实数范围内有唯一解； 当即时，，，即 解得，函数的值域为 【例15】设函数的值域为，求； 【难度】★★ 【答案】化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解. 解集为，解得 5．分离常数法/部分分式法 对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域． 【例16】求函数的值域； 【难度】★★ 【答案】，因为，则， 故函数的值域为。 【例17】（1）；（2）； 【难度】★★ 【分析】对于分式函数一般采用分离常数的方法，先将分式函数变为基本函数，再通过基本函数的图像和性质求值域。分式函数分离之后可能变为：反比例型函数；耐克函数；二次型函数等。 【解答】（1） 所以原函数的值域是 （2）因为 当时，，所以当且仅当时等号成立； 当时，，所以当且仅当时等号成立； 所以函数的值域为。 【例18】求函数的最值； 【难度】★★【答案】 【巩固训练】 1．求二次函数的值域； 【难度】★【答案】 2．求函数的值域。 【难度】★【答案】 3．求函数的值域． 【难度】★★ 【答案】原函数化为关于的一元二次方程． （1）当时，，，解得； （2）当时，，而．故函数的值域为． 4．已知函数的值域为，求实数的值； 【难度】★★ 【答案】变形有（y-2）x2-bx+（y-c）=0，⊿=b—4（y-2）（y-c）=4y2-4（2+c）y+8c-b2＞0， 其解集为[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2时也适合. 5．求函数的值域； 【难度】★ 【答案】先将此函数化成隐函数的形式得: 这是一个关于的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程的判别式,解得: . 故原函数的值域为: . 评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在或仅有个别值（个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，