专题16 函数的基本性质（2）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题16 函数的基本性质（2） （函数的单调性） 知识梳理 1. 函数单调性的定义 对于函数的定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。 注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。 2. 单调性证明四部曲 ①任取,属于定义域，且令<；②作差－并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断－的符号；④得出结论. 3. 复合函数的单调性：同增异减 注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。 4. 单调性与奇偶性之间的关系 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 5. 单调性的其它等价形式 ①对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ②对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有 恒成立，则在定义域内递增； 恒成立，则在定义域内递减. 例题解析 一、单调性的概念及简单基本函数的单调性 【例1】设是定义在上的函数． ①若存在，当时、有成立，则函数在上单调递增； ②若存在，当时，有成立，则函数在上不可能单调递 减； ③若存在，对于任意，都有成立，则函数在上 单调递增； ④任意，当时，都有成立，则函数在上单调递减． 以上命题正确的序号是（ ） （A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）② 【难度】★★ 【答案】D 【例2】判断命题： （1）已知均为上的单调递增函数，则是上单调递增函数； （2）已知的定义域为，，为上的增函数。 （3）已知的定义域为，在上单调递增，则在上单调递增。 （4）偶函数一定不是单调函数。 【难度】★★ 【答案】（1）错（2）错（3）错（4）对 【例3】定义在R上的函数f(x)的图像过点M（－6，2）和N（2，－6），且对任意正实数k，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t的值为 . 【难度】★★ 【答案】2 【例4】写出下列函数对应的单调区间 （1） 的递增区间是___________________，递减区间是____________________； （2） 的单调递增区间 ； （3） 的单调递增区间 （4） 的单调递增区间 . 【难度】★★【答案】（1）（2） （3）和（4） 【解析】（1）画图（2）不要忽略定义域（3）画图，多个单调递增区间不能用“”连接（4）单调函数四则运算规律 【例5】已知函数，，且与的图像在轴上的截距相等，则函数的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】 【例6】求的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】和 【解析】，令，原函数变为从而可得函数的递增区间为和 【例7】已知是定义在上的增函数，且，试判断函数（）的单调性. 【难度】★★【答案】递减区间，递增区间为 【巩固训练】 1.下列命题:(1)若是增函数，则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（ ） A.1 B.2　　　　　 　C.3　　　　　　　D.0 【难度】★【答案】A 2、 y = 2x＋1 ＋ 2－x 的递增区间是__________，递减区间是__________。 【难度】★【答案】， 3. 已知，，则的单调递增区间 . 【难度】★★【答案】 4.的单调递增区间 【难度】★★【答案】和 5.讨论函数在(-2,2)内的单调性. 【难度】★★【答案】见解析 【解析】∵，对称轴 ∴若,则在(-2,2)内是增函数； 若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若,则在(-2,2)内是减函数. 二、定义法判断函数的单调性 【例8】证明是单调递增函数 【难度】★ 【答案】略 【例9】已知函数，，． 当时，求证函数是单调函数． 【难度】★★【答案】可证函数在两段上都是单调递增的，又函数连续，故是单调递增函数. 【例10】讨论函数在区间上的单调性 【难度】★★【答案】当a>0时递减，a=0时为常值函数不具有单调性；当a<