专题15 函数的基本性质（1）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题15 函数的基本性质（1） （函数的奇偶性） 知识梳理 一、函数奇偶性的证明（判断） 1、函数奇偶性的定义 偶函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数．　 奇函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数． 2、证明（判断）函数奇偶性的一般步骤 验证函数的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数．是！继续考查成立与否？成立，是奇函数；，是偶函数；都成立，是即奇又偶函数；都不成立，是非奇非偶函数． 二、函数奇偶性的应用 关于函数奇偶性的几个重要结论 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）． （2）函数是奇函数曲线关于原点对称；函数是偶函数曲线关于轴对称． （3）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数． （4）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 其中，为偶函数，为奇函数． （5）、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝偶”． （6）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）． （7）若奇函数在处有定义，则． （8）对于多项式函数 若是奇函数偶次项的系数全为零； 若是偶函数奇次项的系数全为零． 例题解析 一、函数奇偶性的证明（判断） 【例1】判断下列函数是否具有奇偶性： （1）；（2）；（3）；（4）． 【难度】★ 【答案】（1）∵，即，∴函数是奇函数； （2）∵，即，∴函数是偶函数； （3）∵∴，∴函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数． （4）∵，∴函数为既奇又偶函数 【例2】判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）； （3）；（4）． 【难度】★★ 【答案】（1）函数的定义域关于原点对称． ，即，∴函数是奇函数． 函数．∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数． （2）函数的定义域是关于原点对称，， ，∴函数是奇函数． （3）函数的定义域关于原点对称． ① 当时，，则； ② 当时，，则． 综上，，∴函数是奇函数． （4） 函数是奇函数． 【例3】若函数，为非奇非偶函数，则有（ ） （A）对于任意的，都有； （B）存在，使； （C）存在，使； （D）对于任意的，都有。 【难度】★★ 【答案】C 【例4】条件甲：函数满足，条件乙：函数是奇函数，则甲是乙的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条 【难度】★★ 【答案】C 【例5】下列说法正确的有( ) A．既是奇函数又是偶函数的函数是； B．定义域关于原点对称的函数一定具备奇偶性； C．定义在上的奇函数一定过原点； D．对于给定的，，则为偶函数； 【难度】★★ 【答案】C 【例6】已知是偶函数，且其定义域为，则= ，= ． 【难度】★★ 【答案】是偶函数，一次项系数为，则。定义域关于原点对称，故。 【例7】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，. 直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ ) A．偶函数 　　　　　　　　　 B．奇函数 x L N M O F E D C B A y C．不是奇函数，也不是偶函数 　　　 D．奇偶性与有关[来源:学科网Z 【难度】★★★ 【答案】A 【例8】已知函数， （1） 判断函数的奇偶性 （2） 有最小值时,求此时x的值。 【难度】★★★ 【答案】（1）当=0时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数。 （2） 【巩固训练】 1．判断下列函数的奇偶性． （1）；　 　　　　　（2） （3）； （4）； （5）；（6） 【难度】★★ 【答案】（1）既奇又偶函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）偶函数 2．设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“是偶函数”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【难度】★★ 【答案】B 3．设函数在内有定义，下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中必为奇函数的有 （填选所有正确答案的序号） 【难度】★★ 【答案】（2）（4） 4．设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则 【难度】★★ 【答案】0 5．若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有 （ ） A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 【难度】★★ 【答案】C 【解析】、为奇函数，∴为奇函数． 又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最