4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数 讲义（无答案）-江苏省包场高级中学2021届高三数学一轮复习

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 【学习目标】 1.了解任意角的概念； 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 【知识点梳理】 1．任意角的概念 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的分类:正角、负角、零角 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ． 2.弧度制 (1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝ 角度与弧度的换算 1°＝ rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57°18′ 弧长公式 l＝ 扇形面积公式 S＝ 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 【基础自测】 1. 3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 2.已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________． 3．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝eq \f(x,13)(x≠0)，则sin α＝________. 4.若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　) A．第一象限角　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5.．下列说法正确的是(　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．第一象限角必是锐角 C．不相等的角终边一定不相同 D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同 【例题讲解】 例1.（1）．给出下列四个命题： ①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．⑤锐角是小于90°的角。其中正确的命题有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个 （2）．(易错题)若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 （3）．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ （4）．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 例2.（1）．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1　　　B．4 C．1或4 D．2或4 （2）．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm. （3）.已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 例3. （1）．若sin αtan α＜0，且eq \f(cos α,tan α)＜0，则角α是(　　) A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 （2）．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(4,5)，则cos α＝________. （3）．已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则m＝________. （4）．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sin α＝______cos α＝______tan α＝________. 【课后练习】 1. 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　) A．40π cm2　　B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠