3.3导数与函数的极值和最值 讲义（无答案）-江苏省包场高级中学2021届高三数学一轮复习

3.3导数与函数的极值和最值 【学习目标】 （1）了解函数的极值的概念； （2）能利用导数求原函数的极值和最值. 【知识点梳理】 1．函数的极值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． [提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． [提醒]极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值． 【基础自测】 1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　) A．1　　 　　B．2　　 　 　C．3　　 　 　D．4 2．设函数f(x)＝eq \f(2,x)＋ln x，则(　　) A．x＝eq \f(1,2)为f(x)的极大值点 B．x＝eq \f(1,2)为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 4．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________． 5.已知函数f (x)＝eq \f(1,3)x3＋x2－2ax＋1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________． 【例题讲解】 题型一：由图象判断函数的极值 例1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减 B．函数f(x)在x＝2处取得极大值 C．函数f(x)在x＝－4处取得极值 D．函数f(x)有两个极值点 题型二：求已知函数的极值 例2.已知函数f (x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f (x)的极值． 例3. 已知函数f(x)＝(x－k)ex.求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 思维导图：利用导数研究函数极值最值问题的一般流程 题型三：已知函数的极值求参数值(范围) 例4. 函数 在 处有极值10，则 跟踪练习：已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是 思考：已知函数的极值求参数值(范围)应该注意哪些问题？及一般解题策略. 【课后练习】 1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是(　　) A．25，－2　　　B．50，14 C．50，－2 D．50，－14 2．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在区间 内单调递增 B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值 C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增 D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值 3．已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．2ln 2－2 C．e D．2－e 4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 5.(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋