3.1导数的概念及运算 讲义（无答案）-江苏省包场高级中学2021届高三数学一轮复习

3.1导数的概念及运算 【学习目标】 （1）理解导数的基本概念和几何意义； （2）会求一般函数及复合函数的导数. 【知识点梳理】 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率：函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为eq \f(f x2－f x1,x2－x1)，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均变化率可表示为eq \f(Δy,Δx). (2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f x0＋Δx－f x0,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝ . 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝ f (x)＝sinx f′(x)＝ f (x)＝cosx f′(x)＝ f (x)＝ex f′(x)＝ f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝ f (x)＝lnx f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝ (2)[f (x)·g(x)]′＝ ； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝ (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【基础自测】 1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________． 2．函数y＝eq \f(ln x,ex)的导函数为________． 3.(2020·盐城模拟)已知函数f (x)的导函数为f′(x)，f (x)＝2x2－3xf′(2)＋lnx，则f′(2)等于(　　) A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,4) C.eq \f(17,4) D.eq \f(17,8) 4．(2019·苏州模拟)已知函数f (x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝ ，b＝ . 5．曲线 在点M(π，0)处的切线方程为______ __． 【例题讲解】 题型一：导数运算 例1. 求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋eq \f(1,x)； (3)y＝eq \f(cos x,ex)； (4)(易错题) ； (5)y＝ln(2x－5)． 题型二：导数的几何意义 例2. (2018·全国卷Ⅰ)设函数 若 为奇函数，则曲线 在点(0,0)处的切线方程为(　　) A． 　 B． C． D． 跟踪练习：直线 是曲线 的一条切线，则实数b的值为 .思维导图：①过切点问题的基本思路 ②过非切点的切线求法 例3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A． B． C． D． 跟踪练习：函数f (x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 思维导图：由曲线的切线求参数的一般方法 例4．(2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 (　　) A．1 B． C． D． 跟踪练习：若曲线 与曲线 存在过点 )的公切线，则 思维导图：两条曲线共有一条切线问题处理一般策略 【课后练习