2.9函数与方程 讲义（无答案）-江苏省包场高级中学2021届高三数学一轮复习

第二章 函数、导数及其应用 2.9函数与方程 【学习目标】 （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. （2）会利用数形结合判断已知函数零点个数. （3）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 【知识点梳理】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使 的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与 轴有交点⇔函数y＝f (x)有 ． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f (x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f (x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数 【基础自测】 1．（教材改编）函数 的零点个数是 2．已知函数f (x)＝x－eq \r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 3．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f (x)＝x＋1的零点为(－1,0) B．函数f (x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点 D．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点的横坐标 【例题讲解】 题型一：函数零点所在区间的判定 例题1.方程 的根所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 跟踪练习: 1.函数 的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 2．设函数 与 的图象的交点为 ，若 则x0所在的区间是________． 题型二：函数零点个数的判定 例2.函数 的零点个数为(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 跟踪练习 1.函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是________． 2函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ln x－x2＋2x，x＞0,x2－2，x≤0))的零点个数是________． 思考：函数零点个数的判定有下列几种方法？ 题型三：函数零点的应用 1. 已知函数的零点或方程的根求参数 例3．(2019天津，5分)已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为(　) A．[eq \f(5,4)，eq \f(9,4)] B．(eq \f(5,4)，eq \f(9,4)] C．(eq \f(5,4)，eq \f(9,4)]∪{1} D．[eq \f(5,4)，eq \f(9,4)]∪{1} 跟踪练习 (2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 2.复合函数零点问题 例4.已知函数 则函数 在区间 上的零点的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3.与函数性质相结合 例5.已知定义在R上的偶函数 满足 ，且在区间 上 ,若关于x的方程 有三个不同的实根，则a的取值范围为________． 【课后练习】 1.函数 的零点位于区间(　　) A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2) 2.(2019山东聊城检测)已知 则函数 的零点个数为(　　) A.1