第2讲集合初步（2）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（拔高，学生版+教师版）

集合的初步（2） 集合的基本运算 知识讲解 一、交集、并集、补集概念 1.交集 定义：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集． 记作（读作“交”），即且 ① 数学符号表示：且 ② Venn图反映： 2.并集 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集． 并集．（读作“并”） ① 数学符号表示： 或 ② Venn图反映： 3.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，记作，即且 ①数学符号表示： 且 ②Venn图反映： 二、集合的运算性质 （1） （2） （3） （4）； 三、容斥原理 ． 典型例题 1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}． （Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C； （Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}． 所以B={x|2≤x≤4}， 根据题意，由图可得：C=A∩（CUB）， 因为B={x|2≤x≤4}，则CUB={x|x＞4或x＜2}， 而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（CUB）={x|1≤x＜2}； （Ⅱ）因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}， 所以A∪B={x|1≤x≤4}，． 若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B）， 则有， 解得2＜a≤3， 即实数a的取值范围为（2，3]． 　2．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=∅，求m的范围． 【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}， 若A∩B=∅， 当B=∅，可得m+1＞2m﹣1，解得m＜2； 当B≠∅，可得或， 得或， 即为m∈∅或m＞4， 综上可得m的范围是m＞4或m＜2． 3．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}， （1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）； （2）若A∪B=B，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=0时，A={x|0≤x≤8}， ∵B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集为R， ∴A∩B={x|5＜x≤8}，∁RB={x|﹣1≤x≤5}， 则A∪∁RB={x|﹣1≤x≤8}； （2）∵A∪B=B，∴A⊆B， ∴a+8＜﹣1或a＞5， 解得：a＜﹣9或a＞5． 　 4．已知全集U=R，集合A={x|﹣3≤x≤4}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}． （1）若m=3时，求A∪（∁UB）； （2）若A∪B=A，试求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁UB={x|x＞7或x＜2}， A={x|﹣3≤x≤4}， 则A∪（∁UB）={x|x≤4或x＞7}； （2）若A∪B=A，则B⊆A， ①B=∅时，可得m﹣1＞3m﹣2 解得m＜； ②B≠∅时，可得，解得． 综上所述，m≤2． 　 5．已知集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），B={x|x2﹣4x+a=0，a∈R}． （Ⅰ）若A∩B≠∅，求a的取值范围； （Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围． 【解答】解：令f（x）=x2﹣4x+a=（x﹣2）2+a﹣4，则对称轴为x=2， （Ⅰ）由题意得B≠∅，∴△=16﹣4a≥0，解得a≤4…① ∵A∩B≠∅，又∵A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）， ∴f（3）＜0，解得a＜3…②， 由①②得，实数a的取值范围为（﹣∞，3）． （Ⅱ）∵A∩B=B， ∴B⊆A，当△=16﹣4a＜0，即a＞4时，B=∅，这时满足A∩B=B， 当△=16﹣4a≥0时，B≠∅，此时a≤4…③， ∵B⊆A， ∴f（﹣1）＜0，解得a＜﹣5…④， 由③④，得a＜﹣5． 综上所述，得实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪[4，+∞）． 　 6．已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}． （1）m=3时，求A∪（∁UB）； （2）若A∩B=B，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）把m=3代入得：B={x|2≤x≤7}， ∴∁UB={x|x＜2或x＞7}， ∵A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}={x|﹣3≤x≤4}， ∴A∪（∁UB）={x|x≤4或＞7}； （2）∵A∩B=B， ∴B⊆A， ∴当B=∅，即m﹣1＞3m﹣2，此时m＜； 当B≠∅，即m﹣1≤3m﹣2，此时m≥，则有， 解得：﹣2≤m≤2，此时≤m≤2， 综上，m的范围是{m|m≤2}． 　 7．已知集合A={x|x2﹣3