专题15指数函数-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第15题 指数函数 一．题源探究·黄金母题 对于函数： （1）探索函数的单调性； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 【解析】（1）在上是增函数． 证明：任取，且， ＝ ＝－＝． 因为，所以． 又因为，所以，即，所以，即， 所以函数在上是增函数． （2）假设存在实数使为奇函数，则＋＝0，即，所以＝， 即存在实数使为奇函数． 【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题 【母题评析】本题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题．此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，达到考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的． 【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决：一是利用定义来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决．已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决． 二．考场精彩·真题回放 【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是 【答案】D 【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D. 【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用． 【学科素养】数学运算、直观想象 【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难． 三．理论基础·解题原理 考点一 指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且∈*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作． 当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： （1）； （2） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ ． 考点二 指数函数的定义 一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域为． 考点三 指数函数图象与性质 图象特征 函数性质 向、轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 图象关于原点和轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在轴上方 函数的值域为 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 考点四 指数函数的实际应用 主要以指数型函数的应用，因此建立此模型时注意确定参数及底数是解题的关键． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系； 2．在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等． 考向1 指数型函数的定义域 【2018北京海淀模拟】函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】要使原式有意义需满足，即，故函数的定义域为． 【温馨提醒】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可． 考向2 指数的运算法则的应用 （1）计算 （2）已知，求值：． 【答案】（1）；（2）6 【解析】（1） ． （2） ． 【温馨提醒】应用指数的运算法则进行计算注意两点：（1）如果题目中的式子既有根式又有分数指数幂，则先化为分类指数幂以便用法则运算；（2）如果题目中给出的是分数指数幂，先看是否符合运算法则的条件，如符合用法则直接运算，如不符合应创设条件去求． 考向3 指数型函数的奇偶性 【208山东滨州模拟】若函数为奇函数，则的解集为（　　　） A．　　　　B．