专题14二次函数-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第14题 二次函数 一．题源探究·黄金母题 已知函数=，=（）． （1） 求，的单调区间； （2） 求，的最小值． 【解析】（1）由题知，=，=，当＜1时，＜0，当＞1时，＞0， 当时，＞0， ∴的单调减区间为，单调增区间为（1，+∞）；的单调增区间为[2，4]． （2）由（1）知，当时，==-1； 当=2时，==0． 【试题来源】人教版A版必修1第39页B组第1题 【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值．高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题． 【思路方法】二次函数问题，常常借助其图象研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域，借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题． 二．考场精彩·真题回放 【2016高考新课标II】已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图象的交点为（x1，y1），(x2，y2)，…，（xm，ym），则 （ ） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 【解析】都关于对称，∴它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，故选B． 【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值．． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题． 【学科素养】数学运算 【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法，转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图象处理． 三．理论基础·解题原理 考点一 二次函数的概念与表示 1．概念：形如：函数叫二次函数； 2．表达形式有： （1）一般式：． （2）顶点式：若为抛物线的顶点坐标．， （3）截距式：设为抛物线与轴交点的横坐标，则．． 考点二 二次函数图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝－对称 考点三 二次函数图象与性质的应用 1．一元二次方程的实根分布 ，是一元二次方程=0的根，设=． 根的分布 充要条件 充要条件1 充要条件2 ，∈(，+∞) ＞且＞ ，∈(-∞，) ＜且＜ ＜＜ ＜＜ ＜＜＜ ＜＜＜ 对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方程解得个数，难度为中档或中档以上． 考向1 二次函数概念与表示 已知正方形的面积为2，点在边上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由面积为2，可知边长为，在正方形中建立坐标系，设，所以，其中 ，当时取得最小值为，选B． 【温馨提醒】平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用时主要是借助于向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标，进而将所求的向量转化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题． 考向2 二次函数图象与性质（奇偶性、单调性、对称性等） 【2018山西45校第一次联考】函数 (且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两汉素分别为指数函数和二次函数，二次函数的对称轴为直线，当时， ，当时， ，观察图象可知A选项符合．故选A． 【温馨提醒】这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面