专题13函数的图象-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第13题 函数的图象 一．题源探究·黄金母题 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象． 【解析】 图象如下 【试题来源】人教版A版必修1第25页习题1．2B组第3题 【母题评析】本题是一道信息给予题，通过定义新函数，考查了学生对分段函数概念的理解及函数解析式的求法，同时培养学生阅读能力和理解能力。 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考天津】函数的图象大致为 A B 【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A． 【命题意图】识别辨析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点： ①函数的定义域； ②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)； ③与坐标轴的交点（即或的点）； ④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)； ⑥图象的变化规律(即函数的周期性)； ⑦函数图象的凸凹性． 【考试方向】高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用．图象的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、不等式等问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练． 【学科素养】直观想象 【难点中心】本类试题主要考查幂、指、对函数图像与性质、二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答此类问题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．这类题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项． （1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向； （2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“”，即将函数值的大小转化自变量大小关系 三．理论基础·解题原理 考点一 由式定图：即根据函数的解析式确定函数的图象 此类问题实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点： ①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)； ③与坐标轴的交点（即或的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)； ⑦函数图象的凸凹性． 解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 考点二 利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与x轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标． 考点三 函数图象变换 设函数，其它参数均为正数 （1）平移变换： ：的图像向左平移个单位； ：的图像向右平移个单位 ：的图像向上平移个单位； ：的图像向下平移个单位 （2）对称变换： ：与的图像关于轴对称； ：与的图像关于轴对称 ：与的图像关于原点对称 （3）伸缩变换： ：图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 ：图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 （4）翻折变换： ：即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于轴对称的图像 ：即轴上方的图像不变，下方的图像沿轴对称的翻上去。 考点四 二阶导函数与函数的凹凸性： （1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况， 若一个函数的增减图像为 则称函数为下凸函数 若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数 （2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特