专题12函数的周期性与对称性-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第12题 函数的周期性与对称性 一．题源探究·黄金母题 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期； （2）画出函数y＝f(x＋1)的图象； （3）你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？ 【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历个周期，即，故函数的周期T=2； （2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象： （3） 当-1≤x＜0时，f（x）=-x， 当0≤x＜1时，f（x）=x； 当2n-1≤x＜2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x， 当2n≤x＜2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n， ∴（n为整数） 【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第3题 【母题评析】本题以y＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”． 二．考场精彩·真题回放 【2016年高考山东卷】已知函数f(x)的定义域为R．，当x<0时， ；当 时，；当 时， ．则f(6)= （ ） （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】当时，，所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D． 【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练． 【学科素养】数学运算、数学抽象 【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力．这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用． 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值． 三．理论基础·解题原理 考点一 函数的周期性 1．周期性：对任意的，都有，则叫做函数的周期． ①若，周期； ②若（相反），周期； ③若()（互倒），周期； ④若()（反倒），周期； ⑤若，周期； ⑥若，周期． 考点二 函数的称性 1．一个函数的对称关系：若函数满足，则关于直线对称，若函数满足，则关于直线对称． 2．两个函数的对称关系： 函数与函数的图像关于直线对称；（巧记：相等求） 函数与函数的图像关于点对称；（巧记：相等求） 考点三 周期与对称的关系： 1．若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期．（告知周期和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴．） 2．若的图像有两个对称中心和 ()，则为周期函数，为一个周期．（告知周期和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心．） 3．若的图像有一条对称轴和一个对称中心 ()，则为周期函数，为一个周期． 考点四 如何计算一般形式的周期和对称： 若()，则；（巧记：消去） 若，则的图像关于直线对称；（巧记：消去，相加除2） 若，则的图像关于点对称；（巧记：消去，相加除2） 若，则的图像关于点对称．（巧记：消去，相加除2，除2） 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练． 考向1 函数周期性 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上， 其中a，b∈R