专题11函数的奇偶性-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第11题 函数的奇偶性 一．题源探究·黄金母题 已知函数是定义在R上的奇函数，当时， ．画出函数的图象，并求出函数的解析式． 【答案】 【解析】函数是定义在R上的奇函数，则对都有：，当时，，则 ，那么 ；函数图象如下： 【试题来源】人教A版必修一第39页A组第6题 【母题评析】本题借助函数的奇性，利用函数的奇性的定义，求函数的解析式，并利用奇函数、函数图象的性质，画出函数的图象．借助函数的奇性以及函数图象特征解题是高考函数部分重点考察内容． 【思路方法】借助函数的奇、性的定义既可以求值，也可以求函数的解析式，而画函数图像是，只需画出轴右侧的图象，按照函数图象的对称要求，再画出轴左侧的图象．另外画图时取几个特殊点，以数助形，确保准确无误． 二．考场精彩·真题回放 【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或. 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D． 【命题意图】本类题常利用函数的奇性、周期性求值． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往借助函数的奇性、单调性、周期性等解题，常考查求值、比较大小、解不等式等． 【学科素养】数学运算 【难点中心】本题是考查利用函数周期性和奇性求函数值，是基础题．利用函数的周期性、奇性求函数值，需要先借助周期性调整自变量的值，再利用奇性调整自变量的符号，最终利用已知函数的解析式求值．而借助周期性、奇性、单调性进行比较大小或解不等式时，还要利用函数的单调性． 三．理论基础·解题原理 考点一 函数的奇性的基本概念 1．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么，函数f(x)是函数，函数的图象关于轴对称． 2．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么，函数f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称． 考点二 对函数的奇性的理解 (1)判断函数的奇性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇性的一个必要条件 (2)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，对于函数的判断以此类推． 考点三 函数的奇性的有关结论 （1） 在奇、函数的定义中，是定义域上的恒等式，要注意利用反向使用，如：． （2） 奇函数图象关于原点对称，奇函数若在处有意义，则；奇函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则其和为零； （3） 函数图象关于轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比较大小、解不等式有联系． 考向1 函数的奇偶性的判断 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D． 【温馨提醒】判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 考向2 函数的奇偶性与求函数值 【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ． 【答案】 【解析】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【温馨提醒】根据函数的奇偶性求函数值，应注意自变量的取值范围以及函数的解析式。 考向3 函数的奇偶性与解不等式 设函数f(x)＝－ln（|x|+1），则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，很明显函数是偶函数，且当时：，函数均为单调递减函数，据此可得函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，则原不等式即：，脱去f符号可得：，求解绝对值不等式可得原不等式的解集为：．故选B． 【温馨提醒】对于求值或范围的问题，一般先利用函