专题10函数的最值和值域-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第10题 函数的最值和值域 一．题源探究·黄金母题 已知函数，求函数的最大值和最小值． 【答案】 【解析】设是上的任意两个实数，且，则 由，得， 所以，即， 故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是． 【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编 【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式． 【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等 二．考场精彩·真题回放 【2017浙江卷5】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活． 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇． 【学科素养】数学运算 【难点中心】求函数最值（值域）通性通法： （1）观察法； （2）利用常见函数的最值（值域）； （3）分离常数法； （4）单调性法； （5）换元法； （6）配方法； （7）基本不等式法； （8）判别式法； （9）有界性法； （10）图象法； （11）导数法． 三．理论基础·解题原理 考点一 函数的最值的基本概念 设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1)对于任意，都有；(2)存在，使得， 则为函数的最大值． (1)对于任意，都有；(2)存在，使得， 则为函数的最小值． 考点二 函数最值的有关结论 逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇． 考向1 观察法 求函数的值域． 【解析】由函数，则： 定义域为： 得： ， 值域为：． 【温馨提醒】解题模板：第一步，观察函数中的特殊函数； 第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． 考向2 分离常数法 （2020安徽省六安市段考）若函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 又， 的值域为， 故选：C. 【温馨提醒】解题模板：第一步，观察函数类型，型如； 第二步，对函数变形成形式； 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域． 考向3 单调性法 （2020届湖南省五岳高三）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 因为为减函数，所以，即值域为. 故选:A. 【温馨提醒】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域．（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数．（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性． 考向4 配方法 已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x．，当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； 【答案】[0，2]． 【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]． 【技能方法】第一步，将二次函数配方成； 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域． 考向5 换元法 求函数的值域． 【解析】令，原函数化为，其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为． 【技能方法】第一解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域． 考向6 反函数法 求函数的值域． 【解析】由原函数可得，，则其反函数为，其定义域为，所以函数的值域为 【技能方法】解题模板：第一步，求已知函数的反函数； 第二步，求反函数的定义域； 第三步，利用反函数的定义域是原函数