专题09函数的单调性-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第9题 函数的单调性 一．题源探究·黄金母题 已知函数，求函数的最大值和最小值． 【答案】 【解析】设是上的任意两个实数，且，则 由，得， 所以，即， 故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是． 【试题来源】人教版A版必修一第31页例4． 【母题评析】本题通过对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式． 【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等． 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考天津】设，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， ， 所以. 故选：D． 【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数的图象与性质，主要利用函数的单调性比较大小． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往 与不等式的性质同时考查． 【学科素养】数学运算 【难点中心】（1）对于比较大小问题，简单问题可直接借助一个的常见函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系，复杂一点的，有时需要把式子适当变形，然后再构造一个适当的函数，同样借助这个函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系．是基础题． （2）新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． （3）求函数单调区间的常用方法： ①定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间； ②图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； ③利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性． 三．理论基础·解题原理 考点一 函数的单调性的基本概念 1．函数的单调性 一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于任意，当时， 若，则函数在区间上是增函数； 若，则函数在区间上是减函数； 2．函数的单调区间 若函数单调在区间上是增函数（或减函数），则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 考点二 辨明两个易误点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结． (2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减． 考点三 辨明两个易误点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结． (2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减． 考点四 认识反应函数单调性的陌生函数符号 定义在R上的函数对任意都有，说明函数为减函数；同样若，说明函数为增函数；类似呢？ 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的奇偶性、周期有联系，主要考查求值、比较大小、解不等式等． 考向1 判断函数的单调性（求函数的单调区间） 【2019黑龙江省哈尔滨市第二次模拟】函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 则或， 故函数的定义域为或， 由是单调递增函数，可知函数的单调减区间即的单调减区间， 当时，函数单调递减， 结合的定义域，可得函数的单调减区间为. 故选A. 【温馨提醒】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质． 考向2 函数的单调性与比较大小 【2020全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则 A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0 【答案】A 【解析】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A．