专题08函数的解析式-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第8题 函数的解析式 一．题源探究·黄金母题 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求的解析式，并画出函数的图象． 【解析】当时，；当时，＝；当时，＝．综上知， 【试题来源】人教版A版必修一第13页复习参考题B组第2题 【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到对学生能力的考查． 【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解． 二．考场精彩·真题回放 【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________ 【答案】 【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围. 若函数为奇函数，则即， 即对任意的恒成立， 则，得. 若函数是R上的增函数，则在R上恒成立， 即在R上恒成立， 又，则， 即实数的取值范围是. 【命题意图】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的性质结合考查． 【学科素养】数学运算， 【难点中心】这类题的解答常和函数的性质综合考查，要熟练运用函数的性质。 三．理论基础·解题原理 考点一 函数解析式概念 （1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式． （2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 考点二 基本初等函数的解析式 （1）一次函数：； （2）反比例函数：； （3）二次函数：； （4）指数函数：； （5）对数函数：； （7）幂函数：； （8）三角函数：． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用． 考向1 利用待定系数法求解析式 已知函数在点处的切线方程为，则函数___________． 【解析】因为，则由题意，则，解得，所以． 【温馨提醒】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数． 考向2 利用换元法（或配凑法）求解析式 （2020河南省郑州市）已知，若，则t=（ ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】D 【解析】,, 令,,, 即，，故选D。 【温馨提醒】已知复合函数的表达式，要求的解析式时，可考虑令，反解出，将其代入的表达式中，再用替换便可得到函数的表达式；（2）已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若的表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化． 考向3 利用函数性质求解析式 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________． 【答案】 【解析】由题意知是奇函数，且当时，， 又因为，， 所以， 两边取以为底数的对数，得， 所以，即． 【温馨提醒】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将转换为、（为常数）转化为等． 考向4 利用方程法（消元法）求函数解析式 【改编题】定义在上的函数及二次函数满足：，则___________． 【解析】（1）∵　　①，，即　　　②．由①②联立解得． 【技能方法】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数混合运算，则充分利用变量代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数的表达式． 考向5　根据图象确定解析式 【2018山东枣庄模拟】函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A．　　B． 　C．　　D． 【解析】根据已知条件可知，函数为奇函数，所以应排除；函数的图象过原点，所以应排除；图象过，所以排除；故选． 【技能方法】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：