专题07分段函数-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第7题 分段函数 一．题源探究·黄金母题 已知函数，求，，的值． 【解析】， ，， 【试题来源】人教版A版必修一第45页B组第4题 【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的． 【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式．如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用． 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D． 【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密． 【学科素养】数学运算 【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的必要条件；若＝，则是的充要条件；若是的真子集，则是的充分不必要条件；若是的真子集，则是的必要不充分条件． 三．理论基础·解题原理 考点一 分段函数的概念 （1）定义：在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数，此函数实质上也是分段函数． （2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象 （1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的． （2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心． 考点三 分段函数的性质 1．分段函数的单调性： 判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性． 2．分段函数的奇偶性： 判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数，判断与的关系． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密． 考向1 求解分段函数的函数值 【2017高考山东卷文数】设，若，则 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由时是增函数可知，若，则，所以，由得，解得，则，故选C． 【温馨提醒】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 考向2 求分段函数的最值（或值域） 设常数，函数，则在区间上的取值范围为__________． 【答案】 【解析】当时，令，则，；当且时，则，令，则， ，函数所以当时，的取值范围是，应填答案． 【温馨提醒】求分段函数的最值或值域。在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等