专题06函数的定义域-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题

跳出题海+黄金百题 第6题 函数的定义域 一．题源探究·黄金母题 求函数的定义域． 【解析】要使式子有意义，则， 即， 根据对数函数的单调性，则， 解得，所以函数的定义域为． 【试题来源】人教版A版必修一第74页习题2．2 A组第7题 【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的． 【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域． 二．考场精彩·真题回放 【2020年高考北京】函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】由题意得， 故答案为： 【命题意图】本类题通常根据函数的解析式有意义，求函数的定义域． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，在有关函数的解答题中，涉及函数的性质时，有时需求函数的的定义，往往与函数的单调性、奇偶性、图象、最值等有联系。 【学科素养】数学运算 【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点．本题是简单函数定义域的求法，是基础题． 三．理论基础·解题原理 考点一 函数定义域的概念 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 考点二 常见函数的定义域 1．一次函数的定义域为； 2．二次函数的定义域为； 3．指数函数（且）定义域为； 4．对数函数（且）的定义域为； 5．幂函数（互质且）， （1）当，为奇数且时，定义域为； （2）当为奇数为偶数且时，定义域为； （3)当，为奇数且时，定义域为； （4）当是奇数，为偶数且时，定义域为； 6．正弦函数、余弦函数定义域都为； 7．正切函数的定义域为． 考点三 函数定义域的求法 1．已知函数解析式，求定义域 紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念． （1）若的解析式是整式，则其定义域为R； （2）若的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合； （3）若的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； （4）若的解析式是指数式，若指数为负指数或0指数，则其底数不为0，若指数含变量，则其底数应为大于0且不等于1； （5）若的解析式是对数式，则真数应大于0，若底数含未知数，则底数大于0且不等于1； （6）若的解析式是正切函数，则正切后部分不为； （7）若是有限个函数四则运算得到，则其定义域为这几个函数定义域的交集（若含除法，则除式不为0）． 2．实际问题的定义域使实际问题有意义的集合； 3．已知已知定义域为A求定义域 紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念，定义域就是自变量的取值范围，因中的作用对象是，而中的作用对象为，故，解得的范围就是的定义域． 4．已知定义域求定义域 函数的定义域是的作用对象的取值范围，故的值域就是定义域． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与集合运算、解不等式、研究函数图象与性质有联系． 考向1 求给定函数解析式的定义域 函数的定义域为_____________． 【答案】 【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得， ， 时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为． 【温馨提醒】求函数的定义域，就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围。 考向2 求抽象函数的定义域 【2020山东省泰安市高三三模】已知函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令即，解得. 若有意义，则即. 故选D. 【温馨提醒】有关抽象函数的定义域问题应注意两点：（1）定义域为自变量的取值范围；（2）括号内的式子的范围一致。 考向3 已知定义域确定参数问题 已知函数的定义域是（为整数），值域是，则所有满足条件的整数数对组成的集合为 ． 【答案】 【解析】当时，函数，令，即，解得；令即，解得易知函数在时为减函数，利用平移的方法可画出时的图象，又由此函数为偶函数，得到时的图象是由时的图象关于y轴对称得来的，所以函数的图象可画为： 根据图象可知满足整数数对的有共5个，故填． 【温馨提醒】由函数的定义域、值域求参数的值，可借助与函数的图象。 考向4 定义域与指数、对数不等