专题13 对数函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题13 对数函数 (对数函数的定义与图像，对数函数的性质） 知识梳理 一、对数函数 1、对数函数定义： 函数叫做对数函数。对数函数与指数函数互为反函数。 2、性质： （1）对数函数的图像都在y轴的右方； （2）对数函数的图像经过点（1,0）； （3）对数函数,当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0； 对数函数,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0； （4）对数函数在（0，+∞）上是增函数，对数函数 在（0，+∞）上是减函数。 （5）对数函数图像在第一象限的规律是： 以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C1，C2，C3，C4对应，，，，则0<a4<a3<1<a2<a1。 3、复合函数的单调性 在复合函数中，如果和的增减性相异，则为减函数，如果的增减性相同，则为增函数。 例题解析 一、对数函数的概念与简单运用 【例1】求下列函数的定义域 （1） （2） 【难度】★★ 【答案】解：（1）且且 （2） 【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域。 【难度】★★ 【答案】解：由得, 由于为定义域上的减函数，故得： 1/2≤x-3≤1 ∴7/2≤x≤4。 ∴所求函数的定义域为[7/2，4]。 注意：已知y=f(x)定义域[a,b]，求y=f[g(x)]定义域，只需a≤g(x) ≤b,解x的取值范围即可。 【例3】若，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【例4】函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为 （ ） A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16] 【难度】★★ 【答案】D 【例5】已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。 【难度】★★ 【答案】解：依题意，恒成立。 （1） 当a=0时，不等式1>0恒成立。 （2） 当a≠0时，有得：0<a<4。 综合（1）、（2），得a∈[0,4). 注意：勿忘讨论二次项系数为零这一情况。 【例6】函数 （1） 若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围 （2） 当时，求y=f(x)的反函数 【难度】★★ 【答案】解：（1）不等式，所以即可 （2）当时，，所以 当时，，所以 【巩固训练】 1．求下列函数的定义域： 【难度】★★ 【答案】解：（1）由得，x2-1>0 即x2>1,有x<-1或x>1。 ∴该函数定义域为{x| x<-1或x>1}. (2)得：x2-1≥1, 即x2≥2，即或； ∴该函数定义域为 （3）由得：有，-1<x<1,且x≠0。 ∴该函数定义域为 注意：定义域用集合或者区间表示。 2．求函数的定义域。 【难度】★★ 【答案】解：由得：。 即： (1) 当a>1时，0<x+a<a,得-a<x<0。 (2) 当0<a<1时，x+a>a,得x>0。 故原函数的定义域为：当a>1时为（-a,0）；当0<a<1时，为（0，+∞）。 注意：解不等式时，常把b改写为logaab,同时要考虑真数f(x)>0。 3．若，则实数k的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 【难度】★★ 【答案】 二、对数函数的性质与图像问题 【例7】由函数图像，画出下列各函数图像。 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 【难度】★★ 【答案】 注意：由向右平移1个单位得到，而为偶函数，y轴左侧图像由y轴右侧的图像关于y轴对称而得到。（图中实线为保留部分。虚线为擦除部分） 【例8】右图是对数函数的图像，已知a取则相应于C1C2C3C4的a值依次为 。 【难度】★★ 【答案】解题策略：根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答。 解： 注意：x=1时，左侧0<a<1, 在x=1右侧a>1。 【例9】已知，试确定m和n的大小关系。 【难度】★★ 【答案】解法一：分三种情况，令y1=logm5,y2=logn5, (1) 当时，如图（1）有1<m<n。 (2) 当时，如图（2）有0<m<n<1。 (3) 当时，如图（3）有0<n<1<m 注意：本题也应用了图像在第一象限的分布规律。 解法二： （1）当时，则，所以1<m<n。 （2）当时，则，所以0<m<n<1。 （3）当时，则有0<n<1<m 【例10】在函数的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为、、，若△ABC的面积为S，求函数的值域. 【难度】★★★ 【答案】设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B2、C1， 令， ， 的值域为 【例11】使成立的的取值范围是 。