专题19 空间向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第19讲空间向量 考点一 空间向量 (1) 空间向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为或． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如，． 4.模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记为． 8.向量运算：与平面向量类似； (二)、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，，使． 4.空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，，，使．表达式，叫做向量，，的线性表示式或线性组合． 注：上述定理中，，，叫做空间的一个基底，记作，其中都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (三)、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．通常规定．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且．如果，则称与互相垂直，记作． 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量，，定义它们的数量积（或内积）为： 空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）；（2）；（3）；（4）． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）；（2）；（3）． (四)、空间向量的直角坐标运算 前提：建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系，也常说成空间直角坐标系． 1.坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一数组，使，，，分别叫做向量在方向上的分量，有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作． 若，， 则：；； ；． 注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 空间向量的平行和垂直的条件： 设，， （）； ． 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式： ，， ． 典例精讲 1．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，，，O是平面B1GF，平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设，则x+y+z＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性表示与共面定理列出方程组求出x+y和z的值，再求和． 【解答】解：如图所示， 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，， xyz ＝xyz， ∵O，A，C，E四点共面，O，D，E，B1四点共面， ∴， 解得x+y，z； ∴x+y+z． 故选：B． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算与共面定理的应用问题，是中档题． 2．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 【分析】由，可得222，即可得出． 【解答】解：， 则222 ＝1+1+1+3×2×1×1×cos60° ＝6． ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四面体法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在空间直角坐标系中，，，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4，则下列结论中不正确的是（　　） A．的最小值为﹣6 B．的最大值为10 C．|AB|最大值为 D．|AB|最小值为1 【分析】设a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，则2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，从而的最小值为﹣6，的最大值为6；（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，1），从而||，从而||最大值为，最小值为1． 【解答】解：在空间直角坐标系中， ，，O为坐标原点，满足a2+b2＝1，c2+d2＝4， 设a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ， 在A中，2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a ＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣