专题20 直线与圆-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第20讲直线与圆 考点一 直线 (1) 两点之间的距离公式与中点坐标公式 1.两点间距离公式：已知，，则 2.中点公式：已知，，则中点坐标为：， (二)倾角与斜率 1.直线的倾斜角 定义：轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角． 2.直线的斜率： 直线斜率k越大，反映直线相对于x轴倾斜程度越大；反之，直线的斜率k越小，反映直线相对于x轴倾斜程度越小． 除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，有就可以算出这条直线的斜率．方程的图象是通过点且斜率为的直线． 3.斜率与倾斜角的关系： 当时，直线平行于轴或与轴重合． 当时，直线的倾斜角为锐角；值越大，直线的倾斜角也随着增大． 当时，直线的倾斜角为钝角；k值越大，直线的倾斜角也随着增大． 垂直于x轴的直线的倾斜角等于． (三)直线方程 直线方程的几种形式： 1）点斜式方程： 2）斜截式方程： 3）两点式方程： 4）截距式：； 5）一般式：（、不全为零） (四)直线系方程 定义：具有某一个共同性质的直线称为直线系，它的方程称为直线系方程。 1.平行直线系 1）斜率为（常数）：（为参数） 2）平行于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：（） 2.垂直直线系 1）与斜率（）的直线垂直的直线系：（为参数） 2）垂直于已知直线（是不全为零的常数）的直线系： （为参数） 3.过已知点的直线系 1）以斜率作为参数的直线系：，直线过定点；，直线过定点，其中过定点且平行于轴或与轴重合的直线不在直线系内。 2）过两条直线：，：的交点的直线系：（为参数），其中直线不在直线内。 典例精讲 1．直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，易得所求的直线方程． 【解答】解：设所求直线为，由条件可知直线平行于直线或过线段的中点， （1）的斜率为，当直线时，直线的方程是，即， （2）当直线经过线段的中点时，的斜率为，直线的方程是，即， 故所求直线的方程为，或． 故选：． 【点评】本题考查求直线的方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 2．已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为　或　． 【分析】当直线经过原点时，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出． 【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入， 解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或． 【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 3．已知三角形三顶点，，，求： （1）过点且平行于的直线方程． （2）边上的高所在的直线方程． 【分析】（1）求得直线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，以及点斜式方程即可得到所求直线方程； （2）求得的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点斜式方程即可得到所求直线方程． 【解答】解：（1）， 直线为， 整理得； （2）， 边的高过点，且斜率为， ， 整理得边的高所在直线方程为． 【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用两直线平行和垂直的条件，考查运算能力，属于基础题． 4．直线yx+1的倾斜角大小是　60°　． 【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可． 【解答】解：因为直线yx+1的斜率为：， 所以直线的倾斜角为α，tan，所以α＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，倾斜角的求法，考查计算能力． 5．直线ax+y+1＝0与连接A（4，5），B（﹣1，2）的线段相交，则a的取值范围是　a或a≥3　． 【分析】判断直线ax+y+1＝0恒过定点P（0，﹣1），计算PA、PB的斜率，再利用数形结合法求出实数a的取值范围． 【解答】解：由直线ax+y+1＝0的方程，判断直线恒过定点P（0，﹣1），如图所示， 计算kPA，kPB3， 且k≥kPA或k≤kPB， 则a≤﹣kPA或a≥﹣kPB， 即实数a的取值范围是：a或a≥3． 故答案为：a或a≥3． 【点评】本题考查了直线的斜率与直线方程的应用问题． 6．求过直线A（8，﹣2）斜率是的直线的一般方程　x+2y﹣4＝0　． 【分析】直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可． 【解答】解：由直线l过A（8，﹣2）且斜率是， 所以其点斜式方程为y﹣（﹣2）， 整理得，x+2y﹣4＝0． 故答案为x+2y﹣4＝0． 【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式得互化． 7．若直线x是函数y＝asinx+bcosx图象的一条对称轴，则直线ax+